2.2.2. Непрерывная случайная величина

Определение. Случайная величина  называется непрерывной (абсолютно непрерывной), если существует такая функция p(t) , что имеет место следующее равенство

Ф ункция p(t) называется плотностью распределения случайной величины  и обладает следующими свойствами.

1). р(t)  0 для любого t  ¹.

И з определения видно, что p(t) = F'(t) в точках непрерывности р(t). Поскольку F— неубывающая функция, то свойство 1 становится очевидным.

Поскольку

т о согласно свойству 3 функции распределения (см. 2.1.3) получим требуемое.

3). P(x₁  < x₂)= p(t)dt.

Так как P(x₁  < x₂) = F(x₂) — F(x₁), то получаем требуемое из определения 2.

С войствам 2 и 3 можно дать геометрическую интерпретацию. Вероятность попадания случайной величины  в интервал [x_{1 ,} x₂], согласно свойству 3, равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке

Согласно свойства 2, площадь фигуры, заключенной под всей кривой плотности распределения, равна единице.

З амечание. Для непрерывной случайной величины  имеет место

где A - произвольное множество из ¹.

Приведем еще одно важное свойство непрерывной случайной величины: для любого a  ¹ имеет место равенство

P( =a )= F(a+0) -F(a).

Докажем это. Пусть A_n ={ a   < a + 1/n}. Для любого п

A_n+1  A_n и A = {_n { a   < a + 1/n }}={  = а}.

П о лемме непрерывности получаем

Следовательно, для непрерывной случайной величины  : Р( = а) = 0, т.е. вероятность попадания в любую заданную точку для непрерывной случайной величины равна нулю, поскольку в этом случае F(a + 0) = F(a).

Из вышесказанного следует, что в свойстве 2 знак  можно заменить на знак <, и тогда, свойство 3 выглядит так:

P(x₁ <  < x₂)= p(t)dt.

2.2.3. Примеры случайных величин

Сначала рассмотрим наиболее важные распределения дискретных случайных величин.

1. Распределение Бернулли с параметром р, 0 < р < 1.

Дискретная случайная величина  имеет распределение Бернулли (или  распределена по закону Бернулли), если она принимает значения 0 и 1 с вероятностями q и р, соответственно. Таблица распределения выглядит так:

Ф ункция распределения  имеет вид (см. 2.2.1.):

Г рафик этой функции строится следующим образом

2. Биномиальное распределение с параметрами n, р.

Д искретная случайная величина  распределена по биномиальному закону, если ее таблица распределения выглядит так:

П роверьте самостоятельно, что = 1.

Число успехов в п экспериментах (одинаковых) двумя исходами в каждом эксперименте является примером случайной величины, имеющей биномиальное распределение.

3. Геометрическое распределение с параметром q, 0  q < 1.

Д искретная случайная величина  имеет геометрическое распределение, если ее таблица распределения имеет следующий вид:

где р_k = q^k-1 (1 - q), k = 1, 2, ..., n, ....

Проверьте самостоятельно, что = 1.

Число независимых экспериментов, которые необходимо провести до появления первого успеха является примером случайной величины, имеющей геометрическое распределение.

4. Распределение Пуассона с параметром ,  > 0.

Д искретная случайная величина  имеет распределение Пуассона, если ее таблица распределения выглядит следующим образом:

П роверьте самостоятельно, что = 1.

Примером такой случайной величины является число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный промежуток времени.

Теперь приведем примеры наиболее важных распределений непрерывных случайных величин.

5. Равномерное распределение на отрезке [a, b].

Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [а, b], если ее плотность распределения имеет следующий вид:

Ф ункция распределения такой случайной величины определяется так: если x < a, то { < х}—невозможное событие, поэтому F_ (x) = 0. Если х > b, то { < х}— достоверное событие, поэтому F_ (x) = 1. А при а  х < b получим

Т аким образом получаем функцию распределения

Графики плотности распределения p(t) и функции распределения F_ (x) приведены ниже

6. Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром ,  > 0

Н епрерывная случайная величина  имеет показательное распределение, если ее плотность распределения имеет следующий вид:

А налогичными рассуждениями из предыдущего пункта получим функцию распределения такой случайной величины:

Г рафики плотности распределения p[t) и функции распределения F_ (x) приведены ниже

Примерами показательно распределенных случайных величин могут служить: а) время распада атомов различных элементов, б) продолжительность безотказной работы радиоаппаратуры, в) длительность горения электрической лампочки, г) время обслуживания в системах массового обслуживания.

7. Нормальное распределение с параметрами а, ².

Н епрерывная случайная величина  распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет следующий вид:

Ф ункция распределения  выглядит так:

Распределение с параметрами a = 0,  = 1 называется стандартным нормальным распределением и его функция распределения обозначается через Ф(x). Посредством простой замены переменных легко показать, что F_(x) = Ф(x-a/). (Проверьте самостоятельно!).

Г рафики плотности распределения p(t) и функции распределения F_(x) приведены ниже

Положение кривой плотности распределения полностью определяется параметрами а и . В зависимости от величины  форма кривой может быть при большой величине  пологой и при небольшой величине  более или менее крутой. Во всех случаях кривая плотности строго симметрична относительно параметра а. Плотность нормального распределения имеет только один максимум, который соответствует параметру а и значение плотности в этой точке равен 1/ .