1.2.2. Классическая вероятность

Определение. События ... образуют полную систему {или группу) событий, если 1) = ; 2) =  для i j

Пусть события образуют полную систему. Рассмотрим событие А = , тогда будем говорить, что событию А благоприятствуют k из п событий .

Теорема. Пусть образуют полную систему событий и равновероятны (или равновозможны), и пусть событию А благоприятствуют k из этих п событий, тогда

P(A) = k/п.

Доказательство. Так как образуют полную систему событий, то =  Тогда, по аксиомам 3 и 2 получаем:

По условию теоремы P( ) — одна и та же для всех i, что нам дает P( ) = 1/n для любого i. Поскольку А = , то по аксиоме 3 получаем P(A) = k/п.

Пример. В урне имеются k белых и n — k красных шаров. Извлекается из урны 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый? Все исходы равновероятны, их всего п: . Событию А = {извлеченный шар белый} благоприятствуют k из n исходов, поэтому из теоремы следует ответ:

.

1.2.3. Геометрическая вероятность

Применение теоремы из предыдущего пункта ограничивается только случаями, когда число исходов проводимого эксперимента можно перечислить. Как же вычислить вероятности событий, когда этого делать нельзя (т.е. когда множество исходов эксперимента несчетно). В некоторых случаях это можно сделать, пользуясь геометрическим языком. Пусть G  ⁿ некоторая ограниченная область n-мерного пространства. Например, на прямой (в ¹) — это может быть отрезок; на плоскости (в ²) —прямоугольник и т.д. Предполагается, что область G имеет меру (G) (длину в ¹, площадь в ² и т.д.) такую, что 0 < (G) < ∞.

В область G наугад бросается точка. Этому выражению следует придать определенный смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую либо часть g области G пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы, т.е. Р(попасть в g) = k(g), где k- коэффициент пропорциональности. Тогда Р(попасть в G) = k(G) и поскольку событие (попасть в G) — достоверное, то отсюда получим (используя аксиому 2 вероятности): k = 1/(G).

Вероятность попасть в g, вычисленная вышеописанным способом, носит название геометрической вероятности и определяется так:

.

Пример (Задача о встрече). Предположим, что два человека условились встретиться в 00.00 часов. У каждого встречающегося часы могут ошибаться ±5 минут. В пределах от —5 до +5 любая ошибка возможна. Множество элементарных событий  можно представить в следующем виде:

 = {(X, Y) : -5  Х  5, -5  Y  5},

где Х— величина ошибки (время) в часах первого человека, а Y— в часах второго человека, выраженные в минутах. Нас интересует вероятность события А = {встреча состоялась}. В зависимости от того, каковы условия договоренности этих людей, задача решается по-разному. Например, пусть они договорились о том, что каждый после прихода ждет 3 минуты. При этом встреча может состояться только тогда, когда выполнено следующее условие: Х — Y  3. Итак, событие А интерпретируется следующим образом: А = {(Х,Y) : Х —Y 3}. Событию А соответствует заштрихованная область на рисунке. Теперь нам остается воспользоваться определением геометрической вероятности: Р(A) = (A)/ (G). Элементарные вычисления показывают, что  (A) = 100 - 7  7 = 51, () = 100, и поэтому Р(A) = 51/100.

Т еперь предположим, что они договорились о том, что первый приходит и не ждет ни секунды, а второй ждет. При этих условиях встреча может состояться только при выполнении следующего условия: Х  Y. Тогда событие А выглядит так: А = {(X,Y) : Х Y}

В оспользовавшись определением геометрической вероятности, находим P(A)=(A)/ (G)=1/2.