Тема 2. Волны в передающих линиях

§1. Система уравнений Максвелла.

Основываясь на законах электричества и магнетизма – законе Кулона, законе Био – Савара – Лапласа (теореме о циркуляции вектора Ĥ), законе электромагнитной индукции Фарадея и законе сохранения электрического заряда - Максвелл создал систему уравнений электромагнитного поля, которая в дифференциальной форме записывается следующим образом

rotĒ = - 1 ⁄ c (∂B/ ∂t); rotH = 4π/c( j + 1/4π(∂D/∂t))

divD = 4πρ; divB = 0. (2.1)

Систему (2.1) следует дополнить "материальными " уравнениями, учитывающими соотношения между векторами E, D, B, H и j. При отсутствии ферромагнитных материалов и сегнетоэлектриков для изотропных сред эти уравнения можно записать при помощи трёх констант: σ (электропроводность); ε (диэлектрическая проницаемость) и μ магнитная проницаемость), постулируя линейную связь между D и E, B и H, j и E, а именно

D = εE; B = μH; j = σE. (2.2)

Необходимо также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко используется равенство тангенциальных составляющих векторов В и Н на границе раздела двух сред:

Е_t1 = E_t2; H_t1 = H_t2. (2.3)

При решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значения искомых функций (прежде всего Е_t и H_t) на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (2.1). В частности, на границе раздела металл - диэлектрик при идеализированном допущении отсутствия омических потерь в металле ( что характеризуется условием σ = ∞) граничное условие для вектора Е есть:

Е_t = 0, (2.4)

так как при конечном токе проводимости j = σЕ Е→∞, если σ→∞.

Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля (2.1), "материальные" соотношения (2.2) и граничные условия (2.3), (2.4) называется системой уравнений Максвелла.

В электродинамике доказывается, что система уравнений Максвелла является полной, то есть из неё можно получить все характеристики поля. Система уравнений Максвелла позволяет корректно описать возникновение и распространение электромагнитных волн, представляющих собой совокупность быстропеременных электрического и магнитного полей. Такие волны материальны и характеризуются определённой энергией и рядом параметров, позволяющих исследовать их экспериментально.

§2.Волновые уравнения и их решения

В электродинамике важную роль играют гармонически изменяющиеся во времени (монохроматические) величины, для которых удобно использовать комплексную форму записи:

Е(r,t) = E(r)e^iωt,

где Е(r) = Ė_x(r)e_x + Ė_y(r)e_y + Ė_z(r)e_z – комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля; Ė_j(r ) = E_mj (r ) exp(iφ_j(r )), j = x,y,z – проекции вектора Е на оси ортогональной системы координат с ортами e_х,e_у,e_z. Модуль (длина вектора)

|Е|| = (Е·Е^*)^0.5 = ( Ė_хĖ^*_х + Ė_уĖ*_у + Ė_ZĖ^*_Z). (2.5)

Аналогичные выражения можно записать и для вектора напряжённости Н(r,t).

Рис 2.1.

Рассмотрим однородную неразветвлённую передающую линию из любого числа проводников произвольного поперечного сечения, как представлено на рис.2.1. Распространение волны происходит вдоль оси z, поперечное сечение неизменно в плоскости xy. Линия замкнута одним общим внешним проводником, который и ограничивает внутреннее электромагнитное поле. Именно это поле и представляет интерес для исследования. При заполнении внутреннего пространства линии между проводниками изотропным диэлектриком с "материальными" параметрами σ,ε и μ и при отсутствии в диэлектрике свободных зарядов (ρ = 0) уравнения Максвелла могут быть записаны в следующем виде:

rotH = σE + εε₀(∂E/∂t); rotE = - μμ₀(∂H/∂t);

div(εε₀E) = 0; div(μμ₀H) = 0 (2.6)

где ε₀ = 10⁷/(4πc²) ≈ 8.86·10^-12 Ф/м (А·с/В·м);

μ₀ = 4π·10^-7 ≈ 1.256·10 ^-6 Гн/м (В.с/А·м).

При нахождении решения в виде гармонических функций в соответствии с (2.5) система уравнений (2.6) примет следующую форму:

rotH =iωε^'ε_0·E; rotE= -ωμμ₀·H; divH = 0; divE= 0; ε^' = ε – iσ/ωε₀ . (2.7)

Определив, что H = rotE /(-iωμμ₀) и подставив это выражение в первое уравнение системы (2.7), получим

rotrotE = ω²ε^' με₀μ₀E = graddivE – divgradE = - divgradE;

divgradE + ω²ε^'μμ₀ε₀E = 0. (2.8)

Уравнение (2.8) есть векторное волновое уравнение для величины Е

divgradE + k²E = 0, или ∆Е + k²E =0;

аналогично ∆H + k²H = 0 (2.9)

Уравнения (2.9) справедливы для любой системы координат. Для декартовой системы имеем :

E = E_xe_x + E_ye_y + E_ze_z; H = H_xe_x + H_ye_y + H_ze_z,

что даёт

∆Е_j + k²E_j = 0; ∆H_j + k²H_j =0; j = x,y,z. (2.10)

Уравнения (2.10) известны как однородные уравнения Гельмгольца, или однородные волновые уравнения. Они описывают распространение волн в пространстве и являются доказательством того, что изменение во времени электрических и магнитных полей приводит к распространению электромагнитных волн в пространстве. В декартовой системе координат волновые уравнения по осям x,y и z имеют одинаковую форму, что позволяет ограничиться рассмотрением (решением) однородного уравнения обобщённой формы:

∂²L/∂x² + ∂²L/∂y² + ∂²L/∂z² = 0 (2.11)

Решение ищем методом разделения переменных в виде

L = X(x) · Y(y) · Z(z) (2.12)

Подставив (2.12) в (2.11) и разделив обе части уравнения на L, получим

(1/X)·∂²X/∂x² + (1/Y)·∂²Y/∂y² + (1/Z)·∂²Z/²∂z² = - k² (2.13) Уравнение (2.13) справедливо, если каждое независимое слагаемое в левой части равно какой – то постоянной величине, а именно:

(1/X)·∂²X/∂x² = - ξ²; (1/Y)·∂²Y/∂y² = -η²; (1/Z)·∂²Z/∂z² = γ²; ξ² + η² − γ² = k².(2.14)

Для дифференциальных уравнений типа (2.14) решения известны

X(x) = C₁e^iξX + C₂e^-iξX ; Y(y) = C₃e^iηy + C₄e^-iηy; Z(z) = C₅e^γZ + C₆e^-γZ.

Используя формулу Эйлера для экспоненциальных функций, можно записать

X(x) = (C₁ + C₂)cosξx + i(C₁ – C₂)sinξx; X(x) = Acos(ξx – φ);

Y(y) = (C₃ + C₄)cosηy + i(C₃ – C₄)sinηy;Y(y) = Bcos(ηy – φ), (2.15)

Причём справа в (2.15) даны реальные части комплексных чисел X(x) и Y(y). Подстановка (2.15) в (2.12) даёт

L = D₁cos(ξx – φ)cos(ηy – Ψ)e^{iωt – γZ} + D₂cos(ξx – φ)cos(ηy – Ψ)e^{iωt + γZ} . (2.16)

Следовательно, в линии распространяются две волны по оси z в противоположных направлениях. Для исследования электрических свойств достаточно рассмотреть одну из них, которую назовём бегущей:

L = Dcos(ξx – φ)cos(ηy – Ψ)exp(iωt – γz) (2.17)

Константы ξ и η определяют изменение электромагнитного поля в плоскости поперечного сечения, поэтому они называются поперечными волновыми числами. Можно записать L = F(x,y)·exp(iωt – γz), где F(x,y) – функция распределения поля в плоскости ХУ, не зависящая от z. Величину γ следует охарактеризовать как постоянную распространения, являющуюся в общем случае комплексной величиной: γ = α + iβ. Тогда для вектора Е

Е = Е_м(х,у)exp(iωt – γz) = E_m(x,y)e^-αZ exp(iωt – βz). (2.17a)

Очевидно, что α есть постоянная затухания волны вдоль оси z, а β – фазовая постоянная (изменение фазы волны на единицу длины вдоль оси z).