§7.Волны в круглом волноводе

Рис 2.15.

В этом случае для решения задачи распространения волн следует выбрать цилиндрическую систему координат, изображённую на рис.2.15, так как именно в ней наиболее просто записываются граничные условия:

Е_φ = 0 при r = R; E_z = 0 при r = R, (2.92) , (2.93)

Где Е_φ и Е_z – азимутальная и осевая компоненты электрического поля, R – радиус волновода. Как и в §6, для нахождения уравнений волн Н и Е выразим их через продольные составляющие Е_z и Н_z. Для цилиндрической системы координат

Rot E=(1/r∙ ∂E_z/∂φ - ∂E_φ/∂z)e_r+(∂E_r/∂z - ∂E_z/∂r)e_φ +1/r(r∂E_φ+E_φ- ∂E_r/∂φ)e_z (2.94)

где e_r, e_φ, e_z – координатные орты.

Пользуясь уравнением (2.94), представим разложение по ортам уравнения (2.7) при условии ε^' = ε:

1/r∙∂E_z/∂φ - ∂E_φ/∂z = -iωμμ₀H_r ; 1/r∙∂H_z/∂φ - ∂H_φ/∂z = iωεε₀E_r ;

∂E_r/∂z - ∂E_z/∂r = -iωμμ₀H_φ; ∂H_r/∂z - ∂H_z/∂r = iωεε₀E_r ;

1/r∙E_φ + ∂E_φ/∂r – 1/r∙∂E_r/∂φ = -iωμμ₀H_z ; 1/r∙H_φ + ∂H_φ/∂r – 1/r∙∂H_r/∂φ = -iωεε₀H_z ;

Проведя дифференцирование по z с учётом множителя exp(iωt – γz) и выполнив несложные преобразрвания (см. п.6.5), получим:

E_r = -1/(k² + γ²) (γ∙∂E_z/∂r + iωμμ₀/r ∙∂H_z/∂φ); (2.95)

E_φ = 1/(k² + γ²) (-γ/r∙∂E_z/∂φ + iωμμ₀ ∙∂H_z/∂r); (2.96)

H_r = 1/(k² + γ²) (iωεε₀/r∙∂E_z/∂φ - γ∙∂H_z/∂r); (2.97)

H_φ = -1/(k² + γ²) (iωεε₀∙∂E_z/∂r+ γ/r∙∂H_z/∂φ); (2.98)

Каждое соотношение (2.95) – (2.98) есть сумма двух линейно независимых решений, определяемых только величинами Е_z и Н_z. Поэтому поле в круглом волноводе разделяется на волны Н и Е.

7.1 Волны типа ТМ(Е) в круглом волноводе.

Для нахождения уравнений компонент волн типа Е положим в (2.95) – (2.98)

Н_z = 0 и γ =iβ. Тогда

Е_r = -(iβ/(k² - β²))∙∂E_z/∂r; Е_φ = -(iβ/r(k² - β²))∙∂E_z/∂φ; (2.99) , (2.100)

H_r = (iωεε₀/r(k² - β²))∙∂E_z/∂φ; H_φ =-(iωεε₀/(k² - β²))∙∂E_z/∂r; (2.101) , (2.102)

Продольная составляющая Е_z согласно решению волнового уравнения для Е_z (здесь не приводится) имеет вид:

E_z = D₁J_n(r(k²- β²)^0.5)∙cos(sin)nφ∙expi(ωt – βz); (2.103)

Обозначив D = iD₁/(k² - β²) и подставив (2.103) в (2.99) – (2.102), получим

Е_r = Dβ(k² - β²)J^'_n(r(k²- β²)^0.5)cos(sin)nφ; (2.104)

Е_φ = ±Dβn/r(k² - β²)J_n(r(k²- β²)^0.5)sin(cos)nφ; (2.105)

Е_z = iD (k² - β²)J_n(r(k²- β²)^0.5)cos(sin)nφ; (2.106)

H_r = ±Dωεε₀n/rJ_n(r(k²- β²)^0.5)sin(cos)nφ; (2.107)

H_φ = Dωεε₀(k² - β²)J^'_n(r(k²- β²)^0.5)cos(sin)nφ; (2.108)

H_z = 0,

Где J_n – функция Бесселя первого рода n – го порядка,

J^'_n – производная функции J_n от аргумента (r(k² - β²)^0.5 )

Для определения постоянных в выражениях компонент поля воспользуемся граничными условиями Е_z = Eφ = 0 при r = R, которые можно выполнить при любых φ, только если J_n (R(k² -β²)^0.5) = 0.

Обозначим безразмерные корни функции Бесселя через ν_ni

ν_ni = R(k²- β²),i= 1, 2, 3 ,…

Тогда k² - β² = (ν_ni/R)² . (2.109)

Обозначив k² - β² = k²_кр; k_кр = 2π/λ_кр и учтя (2.109), получим

(λ_кр)_Еni = 2πR/ν_ni (2.110)

Индекс n в (2.110) может принимать значения 0, 1, 2, …, дробные значения n не имеют физического смысла. Численные значения корней ν_ni можно получить из таблиц функций Бесселя. Для простых случаев

- волна Е₀₁ : ν₀₁ = ~2.405; λ_кр = ~ 2.62R;

- волна Е₁₁ : ν₁₁ = ~3.832; λ_кр = ~ 1.64R.

С учётом (2.109) окончательно имеем для волн типа Е:

E_r = Dβ(ν_ni/R)∙J^'_n(rν_ni/R)∙cos(sin)nφ ; (2.111)

E_φ = -/+ Dβ(n/R)∙J_n(rν_ni/R)∙sin(cos)nφ ; (2.112)

E_z = iD (ν_ni/R)²∙J_n(rν_ni/R)∙cos(sin)nφ ; (2.113)

H_z = +/-Dωεε₀n/R∙J_n(rν_ni/R)∙sin(cos)nφ ; (2.114)

H_φ= Dωεε₀ν_ni/R∙J^'_n(rν_ni/R)∙cos(sin)nφ ; (2.115)

H_z = 0.

В общем случае волны Е_ni в круглом волноводе являются двукратно вырожденными благодаря присутствию sin- и cos- множителей во всех уравнениях, что указывает на существование волн, отличающихся чётной или нечётной вариацией поля относительно произвольного начала отсчёта углов φ. Не имеют вырождения только волны Е_0i, обладающие азимутальной симметрией, то есть не имеющие вариаций поля по углу φ.

Наибольший интерес для практики представляет волна Е₀₁. Учитывая, что

J^'_n = (n/x)∙J_n(x) – J_n+1(x),

получим при n = 0

E_r = -Dβ(2.405/R)J₁(r∙2.405/R); E_z = iD (2.405/R)²∙J₀(r∙2.405/R);

H_φ = -Dωεε₀(2.405/R)J₁(r∙2.405/R); E_φ = H_r = H_z = 0.

Рис 2.16

Структура поля Е₀₁ показана на рис.2.16. Вариация поля по азимуту отсутствует, вариация по радиусу происходит по кривой Бесселевой функции (а не тригонометрической, как в случае прямоугольного волновода). Изменение вдоль оси z гармоническое со сдвигом фазы компоненты Е_z относительно составляющих Е_r и Н_φ на π/2. Токи в стенках волновода в случае волны Е₀₁ чисто продольные.

Волны типа Е_0n в крулом волноводе не существуют, так как при i = 0 все компоненты поля обращаются в нуль. Физический смысл индексов n и i состоит в том, что они указывают на количество вариаций поля по соответствующим координатам, в данном случае по радиусу r и азимуту φ.

7.2.Волны типа ТЕ(Н) в круглом волноводе.

Магнитные волны определяются по уравнениям (2.95) – (2.98) при условии Е_z = 0. После подстановки выражения для Н_z, которое в общем виде соответствует формуле (2.103), получаем следующие уравнения для составляющих поля:

E_r = +/-Dωμμ_0∙n/R∙J_n(r(k² - β²)^0.5)∙sin(cos)nφ; (2.116)

E_φ= Dωμμ_0∙(k² - β²)^0.5∙J'_n(r(k² - β²)^0.5)∙cos(sin)nφ; (2.117)

E_z = 0;

H_r = -Dβ(k² - β²)^0.5_∙n/r∙J^'_n(r(k² - β²)^0.5)∙cos(sin)nφ; (2.118)

H_φ =+/-Dβ _∙n/r∙J_n(r(k² - β²)^0.5)∙sin(cos)nφ; (2.119)

H_z = -iD (k² - β²)_∙ ∙J_n(r(k² - β²)^0.5)∙cos(sin)nφ; (2.120)

Граничное условие Е_φ = 0 при r = R даёт

J^'_n(R(k² - β²)^0.5) = 0; R(k² - β²)^0.5 = μ_ni ; (2.121)

где μ_ni –i – ый корень производной Бесселевой функции первого рода n – го порядка. Отсюда критическая длина волны есть

( λ_кр)_Нni = 2πR/μ_ni ; (2.122)

Числа n и i могут принимать значения

n = 0, 1, 2, 3, …; i= 1, 2, 3, …

Для некоторых простейших типов волн:

- волна Н₀₁ : μ₀₁ =~3.832, λ_кр = ~1.64R ;

- волна Н₁₁ : μ₁₁ = ~1.841, λ_кр = ~3.41R ;

Наибольшую λ_кр в круглом волноводе имеет волна Н₁₁ , но не Н₀₁.

Уравнения компонент Н – волн после преобразований имеют следующий вид:

,

E_r = +/-Dωμμ_0∙n/r∙J_n(rμ_ni/R)∙sin(cos)nφ; (2.123)

E_φ= Dωμμ_0∙(μ_ni/R)∙J'_n(rμ_ni/R)∙cos(sin)nφ; (2.124)

H_r = -Dβ(μ_ni/R)∙J^'_n(rμ_ni/R)∙cos(sin)nφ; (2.125)

H_φ =+/-Dβ _∙n/r∙J_n(rμ_ni/R)∙sin(cos)nφ; (2.126)

H_z = -iD (μ_ni/R)²∙J_n(r(μ_ni/R)∙cos(sin)nφ; (2.127)

В уравнениях (2.123) – (2.127) опущен множитель expi(ωt –βz).

Магнитные волны, как и электрические, оказываются двукратно вырожденными, за исключением типов с n = 0. Кроме того, волна Н₀₁ имеет одинаковую λ_кр с волной Е₁₁, поэтому эти волны тоже имеют вырождение.

Рис 2.17.

Из магнитных волн практический интерес представляют волны Н₀₁ и Н₁₁, структура которых показана на рис.2.17. Волна Н₁₁ сходна по структуре с волной Н₁₀ в прямоугольном волноводе. Волна же Н₀₁ не имеет аналога в прямоугольном волноводе и обладает некоторыми аномалиями: электрические линии этой волны имеют форму замкнутых окружностей и не заканчиваются на стенке волновода ; токи в стенках тоже протекают по окружностям и не имеют продольных компонент.

Отличительной особенностью волны Н₀₁являются малые потери энергии в стенках, из-за чего она представляет особый интерес, когда необходимо малое затухание, например, в волноводных линиях большой протяжённости и в объёмных (полых) резонаторах, обладающих очень высокой добротностью. В заключение представлена таблица критических длин волн для волновода круглого сечения.

Волны типа ТМ		Волны типа ТЕ
Тип волны	λкр	Тип волны	λкр
Е01	2,62R	H01	1.64R
E02	1.14R	H02	0.90R
E03	0.72R	H03	0.62R
E11	1.64R	H11	3.41R
E12	0.90R	H12	1.18R
E13	0.62R	H13	0.74R
E21	1.22R	H21	2.06R
E22	0.75R	H22	0.94R
E31	0.99R	H33	1.49R