3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3
Приклад 3.2.1 Розв’язати систему методом зведення до одного рівняння другого порядку
(3.8)
Розв’язок:
Виключимо
.
З першого рівняння маємо
.
Підставляючи
друге рівняння, отримаємо
.
Загальним розв’язком цього рівняння
є
.
Звідки,
.
Приклад 3.2.2 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь
(3.9)
Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння
(3.10)
,
,
.
Для
простого кореня
знаходимо власний вектор
,
розв’язуючи систему
(3.11)
(коефіцієнти
цієї системи рівні елементам визначника
(3.10) при
).
З (3.11) знаходимо
.
Значить, вектор
- власний, і
,
,
(3.12)
- частинний розв’язок системи (3.9).
Для
кратного кореня
спочатку визначимо число лінійно
незалежних власних векторів. При
з (3.10) отримаємо матрицю
Її
порядок
,
ранг
.
Число лінійно незалежних власних
векторів дорівнює
.
Корінь
має кратність
.
Так як
,
то розв’язок треба шукати у вигляді
,
,
(3.13)
Щоб
знайти коефіцієнти
підставимо (3.13) в систему (3.9) та порівняємо
коефіцієнти подібних членів. Отримаємо
систему
(3.14)
Знайдемо
загальний розв’язок цієї системи. З
двох лівих рівнянь маємо
,
.
Підставляючи це в останні рівняння,
отримаємо
,
(3.15)
( всі
інші рівняння є слідством рівнянь
(3.15)). Розв’язуємо систему (5.15) відносно
і
:
,
.
Таким
чином, всі невідомі є вираженими через
і
.
Покладемо
,
,
маємо
,
,
.
Загальний розв’язок системи (5.14)
знайдено.
Підставляючи
знайдені значення
в (5.13) і додаючи частинний розв’язок
(3.12). помножений на
,
отримаємо загальний розв’язок системи
(3.9):
,
,
.
Приклад 3.2.3 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь
(3.16)
Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння
,
,
Для
кореня
знаходимо власний вектор
:
Можна
взяти
,
.
Маємо частинний розв’язок
,
(3.17)
Так як
система (3.16) є системою зі сталими
коефіцієнтами, то розв’язок, який
відповідає кореню
,
можна не розшукувати, він буде комплексно
спряженим з (3.17). Для того щоб отримати
два дійсних розв’язки, треба взяти
дійсну та уявну частини знайденого
комплексного розв’язку, користуючись
відомою функцією Ейлера:
.
Тоді
Загальний розв’язок буде мати вигляд:
Приклад 3.2.4 Методом варіації довільних сталих розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь
(3.18)
Розв’язок: Розв’яжемо спочатку однорідну систему
(3.19)
одним з відомих методів. Одержимо
(3.20)
Розв’язок неоднорідної системи (3.18) будемо шукати у вигляді
(3.21)
Після підстановки (3.21) в (3.18) отримаємо
Звідки
Інтегруючи, одержимо
де
- сталі інтегрування.
Підставляючи
знайдені значення
і
в (3.21), отримаємо загальний розв’язок
системи (3.18)
4 Література
4.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.
4.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.
4.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.
4.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.
4.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.
4.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.