6.4. Примеры решения типовых задач

Пример 6.2. Дана плоскость и точка . Составить уравнение плоскости, походящей через данную точку параллельно заданной плоскости.

Решение. Нормальный вектор заданной плоскости , он же будет нормальным вектором искомой плоскости.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой плоскости, вектор должен быть перпендикулярен вектору . Условие перпендикулярности векторов

(6.24)

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение запишем найденное уравнение в общем виде .

Пример 6.3. Задано уравнение пучка плоскостей

, (6.25)

и плоскость . Составить уравнение плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости .

Решение. Преобразуем уравнение (6.25):

.

Это – уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор, имеющий вид

,

параллелен вектору . Условие параллельности векторов

содержит единственную неизвестную величину . Определив число  и подставив его в уравнение (6.25), получим уравнение искомой плоскости.

Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну общую точку . Уравнение связки плоскостей имеет вид .

В этом уравнении фиксированы координаты точки М₀, а коэффициенты произвольные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 913, 919, 920, 927, 931, 942, 946, 952, 961, 964, 973.

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение плоскости. Векторное истолкование уравнения плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнения плоскостей частного положения. Уравнение плоскости «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов.

2. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным векторам.

4. Нормальное уравнение плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от плоскости. Основные задачи для нормального уравнения плоскости.

5. Определение пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи для уравнения пучка.

7. Прямая линия в трехмерном пространстве

Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

(7.1)

Часто удобнее канонический вид уравнения прямой.

Определение 7.1. Любой ненулевой вектор , параллельный данной прямой будем называть направляющим вектором прямой.

Пример 7.1. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Рассмотрим вектор , начало которого совпадает с точкой , а конец − в произвольной точке (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Чтобы точка М лежала на прямой L, вектор должен быть параллелен вектору . Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует

. (7.2)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Приравняв выражение (7.2) параметру , получим параметрические уравнения прямой.

(7.3)

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если принять, что t − время, а – вектор скорости, то уравнения (7.3) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Зададим точки и и примем, что направляющий вектор

. (7.4)

Из уравнения (7.2), подставив в него выражение (7.4), получим

. (7.5)

Чтобы привести к каноническому виду уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно найти направляющий вектор прямой и точку, лежащую на прямой. Длина вектора − произвольная, точка, лежащая на прямой, − любая.

Пусть прямая есть линия пересечения плоскостей

(7.6)

Направляющий вектор прямой ортогонален каждому из нормальных векторов плоскостей и .

Поэтому определим вектор , как векторное произведение нормальных векторов

. (7.7)

Компоненты вектора будут иметь вид

. (7.8)

Для определения координат точки, лежащей на прямой, добавим в систему уравнений (7.6) уравнение третьей плоскости. Удобно добавить одну из координатных плоскостей или .

Чтобы получающаяся система уравнений второго порядка имела единственное решение, её главный определитель не должен обращаться в нуль. Это накладывает ограничения на выбор координатной плоскости.

Пусть . Пусть в полученной системе уравнений

(7.9)

главный определитель . Тогда координаты искомой точки определяются по формулам Крамера

. (7.10)

Искомое каноническое уравнение запишем в следующем виде

(7.11)

Угол между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между их направляющими векторами .

. (7.12)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (7.13)

Условия параллельности прямых:

(7.14)

(ноль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в ноль.)

Угол между плоскостью

(7.15)

и прямой

(7.16)

определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Если угол между векторами обозначить , а угол между прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (7.17)

Условие перпендикулярности векторов и

(7.18)

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие параллельности векторов и

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

Для того чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15), должны быть выполнены два условия:

1) условие параллельности прямой и плоскости

; (7.20)

2) координаты точки , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

. (7.21)

Для того чтобы две прямые

(7.22)

и

(7.23)

принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора

,

были компланарны.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости:

. (7.24)

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 983, 985, 991, 1003, 1005, 1007, 1009, 1012, 1018, 1024, 1029, 1030.