9. Кривые второго порядка
9.1. Эллипс
Эллипсом называется
геометрическое место точек плоскости,
для которых сумма расстояний до двух
точек
и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная.
Если фокусы совпадают, то эллипс превращается в окружность.
Рис. 9.1
(рис. 9.1). Расстояние между фокусами
примем за
,
Обозначим через
и
длины отрезков
и
.
Пусть
,
тогда при
,
. (9.1)
В соответствии с определением эллипса:
.
(9.2)
Это уже уравнение эллипса. С помощью стандартного приёма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду
, (9.3)
где 
.
Рис. 9.2
Величины а
и b
называются большой и малой полуосями
эллипса. Координаты точек пересечения
эллипса с осями координат
и
легко получить, подставив в уравнение
(9.3) уравнения осей координат
и
.
9.2. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим
через
и
длины отрезков
и
.
Пусть
,
тогда будет
.
Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (см. рис. 9.1). Согласно определению гиперболы, её уравнение будет иметь следующий вид:
. (9.4)
С помощью стандартного приёма уничтожения радикалов оно приводится к каноническому виду:
, (9.5)
где
.
Гипербола пересекает
ось Ох
в точках
и
,
в чем легко убедиться, подставив в
уравнение гиперболы (9.5) уравнение оси
–
.
Получим уравнение
,
решения которого имеют вид
и
.
Асимптотами гиперболы являются прямые с уравнениями
. (9.6)
Чтобы убедиться в этом, получим из уравнения (9.5) явное выражение для :
(9.7)
и рассмотрим
поведение разности
при
.
Тогда
(9.8)
Утверждение (9.6) доказано.
9.3. Парабола
Параболой
называется геометрическое место точек
плоскости, для которых расстояние
от некоторой точки
,
именуемой фокусом, равно расстоянию
до некоторой прямой, именуемой директрисой.
Рис. 9.3
на расстоянии,
равном
вправо от начала координат, а директрису
проведем параллельно оси Оу
на таком же расстоянии влево от начала
координат (рис. 9.3.)
В соответствии с определением параболы
. (9.9)
Подставив r и d в равенство r = d и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим:
. (9.10)
После упрощений в выражении (9.10) получим каноническое уравнение параболы:
. (9.11)
9.4. Уравнения кривых второго порядка
Общее определение кривых второго порядка. С помощью представлений о директрисах можно сформулировать единое определение кривых второго порядка. Для этого необходимо ввести понятие эксцентриситета кривой второго порядка.
Пусть 2с
– расстояние между фокусами эллипса,
а 2а –
длина главной оси, тогда
– эксцентриситет эллипса. Для гиперболы
эксцентриситет определяется аналогично.
Для эллипса:
.
(9.12)
Директрисы эллипса
перпендикулярны его главной оси и
расположены по обе стороны от центра
на расстоянии
(так как
).
Для гиперболы:
.
(9.13)
Директрисы гиперболы
перпендикулярны её главной оси и
расположены по обе стороны от центра
на расстоянии
(так как
).
Эксцентриситет окружности равен нулю. Эксцентриситет параболы равен единице.
Определение.
Геометрическое
место точек плоскости, для которых
отношение е расстояния r
до точки F
(фокуса) к расстоянию d
до директрисы есть величина постоянная,
представляет собой эллипс (при
),
гиперболу (при
)
или параболу (при
).
Полярное уравнение кривых второго порядка. Если – угол между осью Ох и отрезком FM (рис. 9.4), а р – расстояние от фокуса кривой до директрисы, то
Откуда следует, что
(9.14)
Уравнение (9.14) справедливо для параболы, эллипса и «своей» ветви гиперболы (если фокус и директриса расположены по одну сторону от центра кривой). Для другой ветви гиперболы справедливо уравнение
.
(9.15)
Приведение кривых второго порядка к каноническому виду. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
. (9.16)
Для приведения
уравнения (9.16) к каноническому виду
нужно, чтобы коэффициенты
приняли нулевые значения. Этого можно
добиться за счёт переноса начала
координат и поворота системы координат.
При переносе
начала координат в точку
соотношения между старыми и новыми
координатами имеют вид
Рис. 9.4
(9.17)
при повороте осей на угол
(9.18)
Смысл обозначений
и
очевиден из соотношений (9.17) и (9.18).
Подставив (9.17) в уравнение (9.16), получим:
Перегруппируем члены уравнения:
(9.19)
Выберем
и
так, чтобы коэффициенты при
и
обратились в нуль. Для этого решим
следующую систему уравнений:
(9.20)
Решение системы существует только в случае
,
поэтому начинать
следует с вычисления значения
(
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы).
Последнее обстоятельство заставляет начинать преобразование уравнения параболы с поворота осей координат.
Из выражения (9.19) очевидно, что коэффициенты при старших степенях х и у при переносе начала координат не изменяются. Последние шесть членов выражения (9.19) перегруппируем следующим образом:
(9.21)
Содержимое круглых
скобок в соответствии с (9.20) обращается
в нуль, а три оставшиеся члена выражения
позволяют найти новое значение свободного
члена
преобразованного уравнения кривой.
В итоге, уравнение (9.16) приобретает следующий вид:
(9.22)
Кривая, описываемая этим уравнением симметрична относительно центра, так как выполняется условие
.
Очевидно, что центр
симметрии кривой это точка
.
Поворот системы координат вокруг центра симметрии кривой позволяет избавиться от перекрестного члена уравнения (9.22).
Подставив в уравнение (9.22) соотношения (9.18) и перегруппировав члены полученного выражения, из условия обращения в нуль коэффициента при перекрестном члене, получим соотношение
.
Разделив его на
,
получим квадратное уравнение для
:
.
(9.23)
Это уравнение
имеет два решения:
и
,
причём
.
Существуют три инварианта для уравнения (9.16), значения которых не изменяются при преобразованиях декартовой системы координат:
(9.24)
для эллипса,
для гиперболы,
для параболы.
Используя инварианты, уравнение (9.22) можно записать так:
.
(9.25)
Решая примеры, убедимся, что использование инвариантов существенно упрощает приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду