11 Клас. Д і а г н о с т и ч н а к о н т р о л ь н а р о б о т а

№№

3 бали

6 балів

9 балів

12 балів

№1.

Відомо, що пряма а паралельна площині α, а пряма b перетинає площину α. Яке взаємне розміщення прямих а і b?

Трикутники АВС і АВD лежать у різних площинах. Точки М і N – середини сторін АС і ВС трикутника АВС. Яке взаємне розміщення прямої МN і площини трикутника АВD?

Через вершину А паралелограма АВСD проведена площина α. Через точки В, С, D проведені паралельні прямі, які перетинають α в точках В₁, С₁ і D₁ відповідно. Знайдіть СС₁, якщо ВВ₁=3см, DD₁=7 см.

Дано трикутник АВС, в якому АВ=16 см, АС=12 см, ВС =20 см. На стороні АВ взято точку М так, що ВМ:МА=3:1. Через точку М проведено площину, яка перетинає сторону АС в точці К. Знайдіть площу трикутника АМК, якщо відомо, що дана площина паралельна ВС.

№2.

Пряма b перетинає площину ромба АВСD в точці В. b АВ і b ВС. ВD — діагональ ромба. Яке взаємне розміщення прямих b і BD?

Пряма КО перпендикулярна до діагоналей АС і ВD квадрата АВСD, які перетинаються в точці О. Яким є трикутник КОМ, де М — довільна точка АВ?

Пряма АМ перпендикулярна до площини квадрата АВСD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Доведіть, що пряма ВD перпендикулярна до площини АМО.

Точка S рівновіддалена від вершин прямокутного трикутника і не лежить у площині цього трикутника. Доведіть, що пряма SМ, де М — середина гіпотенузи, перпендикулярна до площини цього трикутника.

№3.

Площина паралельна прямій b, а пряма b перпендикулярна до площини . Яке взаємне розташування площин і ?

АВСD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини АВСD, DC= см, СВ=1 см, Знайдіть МА.

Із точки, взятої поза площиною на відстані 12 см, проведено дві похилі 37 см і 13 см. Знайдіть відношення проекцій цих похилих на площину .

Трапеція вписана в коло, причому менша її основа, що дорівнює см, стягує дугу в . На відстані 15 см від площини трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції. Знайдіть відстань від цієї точки до вершин трапеції.

№№

3 бали

6 балів

9 балів

12 балів

Ліва сторона

№1.

Точка М не належить площині трикутника АВС. Чи є серед середніх ліній трикутника МАВ така, яка паралельна площині АВС?

Площина α, яка паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає його сторони в точках М і К. М – середина АС. Знайдіть МК, якщо АВ=4 0 см.

Точка М не лежить у площині трапеції АВСD з основою АD. Доведіть, що пряма АD паралельна площині ВМС.

Доведіть, що коли площина перетинає площину трапеції по прямій, яка містить її середню лінію, то вона паралельна основам трапеції.

№2.

Дано площину α. Точка М лежить в цій площині. Скільки можна провести прямих, перпендикулярних площині α, які проходять через точку М?

Відомо, що площина α перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до площини γ. Площини α і γ – різні. Яке взаємне розміщення площин α і γ?

Пряма ОК перпендикулярна до площини ромба, діагоналі якого перетинаються в точці О. Доведіть, що відстані від точки К до всіх прямих, які містять сторони ромба, рівні між собою.

Із середини М сторони АВ правильного трикутника АВС проведено до площини трикутника перпендикуляр МN; точка N сполучена з С. Доведіть, що СN АВ.

№3.

З точки поза даною площиною проведені до неї перпендикуляр довжиною 6 см і похила довжиною 9 см. Знайдіть довжину проекції похилої на дану площину.

Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою і площиною . Знайдіть довжину перпендикуляра.

У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120^о, а бічні сторони по 10 см. Поза трикутником дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на

26 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Із точки М - середини бічної сторони АВ рівнобічної трапеції АВСD до її площини проведено перпендикуляр МК довжиною 8см. Знайдіть відстань від точки К до діагоналі АС, якщо АВ=ВС=24см і АВС=120^о.