9.2. Волновое уравнение

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функции (9.1) и (9.2) удовлетворяют уравнению

(9.3)

или

(9.4)

Уравнения (9.3) и (9.4) называются волновыми уравнениями. Они представляют собой линейные дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных. Этим уравнениям удовлетворяют все плоские волны. Уравнению (9.2) будет удовлетворять не только функции но и их сумма

(9.5)

Убедимся в этом. Представим это уравнение в виде

(9.6)

Введем новые переменные

откуда

Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:

В новых переменных, уравнение (9.10) будет иметь вид

(9.7)

Поскольку производная по μ равна нулю, то не зависит от этой переменной и, значит, является только некоторой функцией s переменной :

Проинтегрируем это уравнение:

Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной которую мы обозначим как Второе слагаемое – постоянная интегрирования. Она не зависит от являясь, значит, функцией только переменной μ.

Мы получили, что решение волнового уравнения (9.7) имеет вид:

Возвращаясь к прежним переменным x и t, будем иметь

что совпадает с выражением (9.5). Функция вида (9.5), таким образом, является общим решением волнового уравнения (9.4). Других решений это уравнение не имеет.

Справедливо и обратное утверждение: если какая-либо физическая величина зависит от координат и времени так, что ее частные производные второго порядка по этим переменным удовлетворяют уравнению (9.2), то эта величина распространяется в пространстве в виде плоских волн со скоростью v.

9.3. Плоские и сферические гармонические волны

Конкретный вид волновой функции ξ(x, t) плоской волны определяется условиями возникновения волны – источником волны. Если источник, находящийся в начале координат (в плоскости x = 0), совершает гармонические колебания

то создаваемая им волна называется гармонической. Чтобы получить формулу этой волны следует в формуле колебаний заменить t на Будем иметь

(9.7)

где – так называемое волновое число. Соотношение (9.7) называется формулой плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси X. Плоская гармоническая волна, формально описываемая функцией (9.7), как и сама эта функция, является бесконечной во времени и безграничной в пространстве

В формуле (9.7) А – амплитуда волны, ω – частота волны. Аргумент косинуса, т.е. функция называется фазой волны, – начальной фазой. Заметим, что амплитуда и частота (а значит, и период Т) волны равны амплитуде и частоте (и периоду) колебаний источника. Фаза волны, в отличие от фазы колебаний источника, зависит также и от расстояния x волнового фронта до источника. Это показывает, что волна – процесс, развивающийся в пространстве и во времени. Функция(6.3), описывающая волновой процесс, является не только периодической функцией времени, но также и периодической функцией координаты x. Следовательно, волна является процессом, периодическим в пространстве и во времени. Период во времени Т определяется так же, как и период колебаний. Так как период косинуса равен 2π, то, как легко убедиться, величина смещения не изменится, если в формуле (6.3) заменить t на Следовательно период волны во времени Чтобы определить период волны в пространстве, заметим, что смещения не изменится, если в формуле (6.3) заменить x на Отсюда находим пространственный период волны. Обозначив его через λ, получим Пространственный период волны называют ее длиной волны. Как видим, длина волны – это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний частиц. Поскольку длина волны зависит от скорости волны, а скорость в разных средах разная, то и длина волны будет различной для разных сред.

Волновое число можно выразить через длину волны:

=

Следовательно, волновое число – это число длин волн, укладывающихся на отрезке диной 2π.

Зафиксируем какое-либо значение фазы волны (6.3), т.е. положим и продифференцируем это выражение по времен t. Тогда получим Скорость есть скорость, с которой перемешается зафиксированное значение фазы. Следовательно, скорость волны v представляет собой скорость переноса фазы, и поэтому ее называют фазовой скоростью волны.

Формулу плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, легко обобщить на случай волны, распространяющейся в произвольном направлении. Пусть это направление определяется единичным вектором n и пусть r – радиус-вектор некоторой точки пространства. Проведем через эту точку волновую поверхность. В рассматриваемом случае плоской волны такой поверхностью будет плоскость, перпендикулярная направлению n (рис. 9.1). В рассмотренном выше случае n = {1, 0, 0} и, следовательно, ска-

Рис. 9.1

лярное произведение n∙r = = rcos𝛼 представляет собой проекцию радиус-вектора r на ось X, так что x = n∙r. Введем в рассмотрение так называемый волновой вектор k, определив его как k = kn. Модуль этого вектора равен волновому числу k, а его направление совпадает с направлением распространения волны n. Тогда Подставив это в формулу (6.3), получим формулу волны, распространяющейся в произвольном направлении (направлении, определяемым волновым вектором k):

(9.4)

Если зафиксировать значение фазы в момент времени t, то получим = const. Это есть уравнение плоскости, перпендикулярной волновому вектору k. Волна (6.4), как и любая волна вида удовлетворяет волновому уравнению

(9.5)

где – так называемый оператор Лапласа.

Как и гармонические колебания, гармонические волны можно записать в комплексной форме. Для плоской волны (6.4) будем иметь

.

Символ реальной части Re при этом опускается.

Сферические волны распространяются равномерно по всем направлениям от точечного источника, находящегося в начале координат, и описываются функцией вида

где знак минус соответствует расходящейся сферической волне, а плюс – сходящейся, – расстояние от точечного источника волн до точки, расположенной на волновом фронте (радиус сферической волны). Поверхность постоянной фазы представляет собой сферу r = const. Множитель учитывает тот факт, что суммарная энергия колебаний частиц среды, расположенных на сферических волновых поверхностях, должна быть одинаковой для разных радиусов r поверхностей.

Формула сферической гармонической волны имеет вид

где А₀₀ – амплитуда волны на расстоянии 1 м от источника. Функция удовлетворяют волновому уравнению (6.5) с лапласианом, выраженным в сферической системе координат. В комплексной форме сферическая волна будет иметь вид

Функцию называют комплексной амплитудой сферической волны; Сферические волны удовлетворяют волновому уравнению

При этом оператор Лапласа Δ выражается через ссферические координаты.