9.7. Колебания струны

Рассмотрим натянутую вдоль оси X струну длины l, закрепленную на концах (в точках x = 0 и x = l). Под струной понимают тонкую упругую гибкую нить. Гибкость струны означает, что струна не оказывает сопротивления изменению ее формы, не связанному с изменением ее длины, а силы натяжения T(x), возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Если вывести струну из положения равновесия и

затем отпустить, то струна начнет колебаться, при этом точка струны, занимающая при равновесии положение , к моменту времени t займет положение (рис. 9.3). Поскольку струна колеблется в одной плоскости, то закон ее колебаний будет задаваться одной функцией двух переменных где – отклонение точек струны от положения равновесия.

Рассмотрим участок струны, заключенный между точками и и спроецируем силы, действующие на него, на вертикальную координатную ось При малых колебаниях удлинение участков струны не происходит, поэтому по закону Гука силу натяжения T можно считать постоянной, независящей

Рис. 9.3

ни от времени, ни от координаты и равной во всех точках. Эти векторы направлены по касательным к струне в соответствующих точках. Тогда проекции силы натяжения струны на ось взятые в указанных точках и при малых углах будут равны

При получении этих выражений было учтено, что тангенс угла наклона касательной к кривой в какой-либо точке равен производной функции в этой точке. Разность этих проекций есть сила, приводящая в движение участок ∆x. Масса этого участка где – линейная плотность струны. Тогда по второму закону динамики будем иметь

Учитывая, что при

и введя обозначение придем к уравнению

совпадающему с уравнением (7.2). Следовательно, малые свободные поперечные колебания струны представляют собой упругие изгибные волны; параметр

(7.12)

имеет смысл скорости распространения упругой волны в струне. Заметим, что скорость этих волн тем больше, чем сильнее натянута струна и чем она тоньше (в этом случае линейная плотность струны будет меньше).

Таким образом, если возбудить колебание струны, то по струне побегут упругие волны. Так как струна имеет конечную дину, то на ее концах происходит отражение волн; возникают две волны, бегущие в противоположных направлениях – прямая и обратная, которые, накладываясь друг на друга, образуют стоячую волну. Если концы струны закреплены, то там колебания отсутствуют, и тогда и Эти равенства представляют собой граничные условия задачи о колебании струны. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что решением волнового уравнения, удовлетворяющего условию закрепления струны в точке x = 0, т.е. первому граничному условию , является функция, описывающая стоячую волну

(7.13)

Если струна в точке x = 0 не закреплена, то в этой точке будет максимум амплитуды колебаний, и тогда

Решение вида (7.13) получается, если волна, распространяющаяся справа налево, при отражении от левого конца (x = 0) изменяет свою фазу на . Изменение фазы на противоположную при отражении от закрепленного конца происходит потому, что колебания любой точки струны есть результат сложения двух гармонических колебаний, вызываемых падающей и отраженной волнами. Поэтому, если конец струны закреплен, то складываемые колебания в этой точке должны погасить друг друга, т.е. они должны происходить в противофазе.

Из условия закрепления струны в точке x = l, т.е. из второго граничного условия , получаем откуда или где Это условие можно записать в виде где v – скорость распространения волн в струне, или где Следовательно, в струне возникают только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз или частоты которых являются целыми кратными некоторой частоте

Натянутая струна представляет собой колебательную систему. Колебания струны, описываемые функциями (7.10), называют гармониками. Их называют также собственными колебаниями или модами, частоты колебаний называют собственными частотами. Частота называется основной частотой. Каждой собственной частоте соответствует своя колебательная форма, или так называемая мода струны. Совокупность частот образует частотный спектр колебаний струны. Этот спектр, как видим, состоит из отдельных частот т.е. является дискретным, или линейчатым. Дискретность спектра частот является свойством всех стоячих волн. Заметим, что возникновение собственных колебаний в струне связано с выполнением определенных условий на концах струны (граничных условий). Отметим также, что колебания струны характеризуются бесконечным числом собственных частот.

Таким образом, струна, возбуждаемая тем или иным способом, колеблется, имея определенный набор собственных частот (спектр).

Колеблющаяся струна издает звук, т.е. создает распространяющиеся в воздухе упругие волны. Звук, издаваемый струной, колеблющейся с минимальной частотой , называется основным тоном, а все другие ( ) – обертонами.

Если на струну действует внешняя вынуждающая сила и ее частота совпадает с частотой одного из собственных колебаний струны, наступает явление резонанса.