2. Производная сложной функции

Из элементарных функций образуются сложные функции. Допустим, задана функция у =f(u), где u в свою очередь зависит от х, т.е. u=φ(х). Тогда, при изменении х будут меняться u и у. В этом случае заданная функция у =f(u) называется сложной и обозначается у =f [φ(х)]. Величина u называется промежуточной переменной.

Тогда производная (по x) равна произведению производной (по u) на производную (по x) :

у' = у'_u ∙u'_х, (5)

Пример 1.: у=е^kx

Обозначим u=kх, тогда у=е^u. Находим производную у'_u= е^u. Подставим значение u=kх, тогда у'_u= е^kx. Находим u'_х=k.

Ответ: у' = у'_u∙u'_х= k. е^kx

3. Производные высших порядков

Если производная у' =φ(х) от функции у =f (х) дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно вычислить производную, которая называется производной второго порядка или второй производной от заданной функции по аргументу х. Ее обозначение у'', ,

Возможно образование производных и более высоких порядков: у''', (или ) и т.д.

Производная второго порядка от заданной функции у =f (х) вычисляется путем последовательного двукратного дифференцирования заданной функции по общим правилам:

у =f (х); у' = f' (х)=φ(х); у''= f'' (х)=φ'(х)

Пример 2: у=х⁴, у'=4х³, у''=12 х²

Физический смысл производной второго порядка – это мгновенное (в заданный момент времени) значение ускорения при прямолинейном неравномерном движении тела.

Действительно, скорость , а ускорение есть изменение скорости, т.е.

а=v'=S'' или .

Пример: задано уравнение движения тела S=2t² (м). Найти скорость и ускорение через 5 с после начала движения.

Решение: Скорость Ускорение .

4. Дифференциал функции

Из уравнения (4) можно записать равенство

, (6)

где - некоторая величина. При , т.е. тоже стремится к нулю. Преобразовав (6) имеем:

, (7)

-

Рис.2

Из (7) видно, что приращение функции состоит из двух слагаемых. Слагаемое называют главной частью приращения функции или дифференциалом функции.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение аргумента и символически обозначается :

, (8)

Таким образом, дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции, представляет собой главную часть этого приращения, линейную относительно приращения аргумента. В этом заключается аналитический смысл дифференциала.

Отсюда следует, что при достаточно малых приращениях аргумента величина приращения функции приближенно равна дифференциалу этой функции:

, (9)

Для выяснения геометрического смысла дифференциала рассмотрим график функции , изображенный на рис.2. В точке М проведем касательную. Рассмотрим АВМ. Катет МВ равен приращению аргумента ; ; .Итак, .

Таким образом, дифференциал функции является приращением ординаты касательной (АВ), которое соответствует приращению (МВ) абсциссы. В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом аргумента называют приращение аргумента, т.е.

, (10)

С учетом (10) можно записать:

, (11)