8.Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть дана неотрицательная функция y=f (x), график которой изображен на рис.3.

Рис.3

Выберем на оси OX точки a и b и восставим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью OX, называется криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой трапеции. Для этого разобьем отрезок на n частичных отрезков точками

.

Внутри каждого отрезка длины выберем произвольную точку k . Составим произведения ,…

Каждое такое произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в произвольной точке соответствующего отрезка. Сумма таких произведений

(18)

называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке и равна площади всех прямоугольников.

Если каждый из отрезков достаточно мал, т.е. и т.д., то площадь заштрихованной области (рис.3) стремится к площади криволинейной трапеции, равной

, (19)

Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела интегральной суммы (18) .

9. Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b оси OX под воздействием переменной силы, направленной вдоль оси OX (т.е., сила является функцией x: у=f(x)). Требуется найти работу A этой силы.

Разобьем отрезок произвольно на n частей точками (рис.4)

.

Рис.4

При достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке величина силы f(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке k ; f(x) для любых точек Є .

Работа силы на каждом отрезке тогда будет приближенно равна , где , а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезка будет приближенно равна

, (20)

Значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение. Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке необходимо перейти к пределу при

(21)

Таким образом, и для вычисления работы переменной силы необходимо уметь определять предел интегральной суммы (18).

Функция f(x) на отрезке называется интегрируемой, если существует такое число I, к которому стремится интегральная сумма (1) при . Тогда число называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

;

- область интегрирования, называется нижним пределом интегрирования, - верхним пределом интегрирования. Из сказанного следует, что

, (22)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции и работы переменной силы связано с нахождением определенного интеграла.