Определение зависимости потенциала в области пространственного заряда от координаты

При рассмотрении различных характерных изгибов зон отмечалось, что в явно выраженных слоях обогащения, обеднения или инверсии заряд в ОПЗ определяется только одним преимущественным источником заряда. Это позволяет в указанных частных случаях произвести определенную аппроксимацию функции F(Y,λ) и определить с достаточной для практических расчетов точностью приближенный вид функции Y(z).

Эти приближенные расчеты проведем для полупроводника с явно выраженным электронным типом проводимости в объеме. Это означает, что λ= p₀/n_i= λ=n_i/n_{0 ,} так как n₀ n_i .соответственно согласно (4.19) λ^-1

Рассмотрим приближение для случаев обогащения, обеднения и инверсии.

Обогащение. Обогащение для полупроводника с электронным типом проводимости наступает при положительных изгибах зон (Вниз!), т.е. при Y_s >0. Сильное или явно выраженное обогащение наступает при Y_s>3.

С учетом того, что λ^-1 λ , >>1, функция F(Y,λ) принимает вид

. (4.5.1)

Первый интеграл уравнения Пуассона приводит к виду

(4.5.2)

Решение этого интеграла

z/L_эфф =2λ^1/2(e^-Y/2-e^Ys/2)

или

Z/L_эфф = (e^-Y/2-e^Ys/2) (4.5.3)

где ,определяет эффективную длину экранирования, куда вместо собственной концентрации n_i входит концентрация основных для данного полупроводника носителей – электронов n₀. Согласно полученному выражению электростатический потенциал в слоях обогащения быстро уменьшается с расстоянием глубь полупроводника, так что основная часть заряда в приповерхностной области сосредоточена в тонком слое. Толщину этого слоя можно охарактеризовать эффективной длиной экранирования.

Полученная зависимость представляет собой экспоненциальный спад Y от значений Y>>1 до Y=0 при значении z=0,41L_эфф (рис.4.9.)

Рис. 4.9. Зависимость поверхностного потенциала от расстояния в ОПЗ для случая обогащения образца электронного типа проводимости

Обеднение (истощение). Ранее показано, что при обеднении в приповерхностной ОПЗ концентрации как основных, так и неосновных носителей заряда играет неподвижный заряд ионизированных доноров и акцепторов. Можно ожидать, что в этом случае изменение потенциала с расстоянием вглубь от поверхности будет медленным ,а толщина слоя ОПЗ – относительно большой.

Это связано с тем, что увеличение заряда может происходить только при увеличении толщины слоя. Поскольку в соответствии с условиями обеднения основных носителей в ОПЗ уже мало, а неосновных – еще мало, можно с большой точностью записать n_s=p_s=n_i . Кроме того рассматривая явно выраженный электронный тип проводимости, считать λ<<1, λ^-1>>1, e^Y<<1, так как Y<0. Отмеченные условия позволяют пренебречь обоими членами, содержащими экспоненты, и привести выражение для F к виду

^, (4.5.4)

Если теперь пренебречь единицей в подкоренном выражении и подставить его в (4.4.9), то, решив полученный интеграл , имеем зависимость Y(z) в виде

(4.5.5)

Где

Если положить Y=0 (объем полупроводника), то получим выражение для расстояния от поверхности где достигается это значение потенциала

(4.5.6)

Теперь, используя полученную формулу, выражение (4.5.5) можно переписать в виде

(4.5.7)

Из (4.5.7) следует , что потенциал зависит от координаты по параболическому закону. Этот вид изменения потенциала с расстоянием в пределах слоя обеднения присутствовал еще в первых теориях выпрямления «металл-полупроводник» и имеет общепринятое название- барьер Шоттки. Наиболее полные и написанные в традиционно классическом виде сведения о барьерах и ОПЗ, появляющихся при контакте металла с полупроводником, можно найти в [9.10]

Инверсия. Как было отмечено выше, инверсия в приповерхностном слое полупроводника характеризуется тем, что основная составляющая заряда ОПЗ формируется неосновными относительно объема носителями заряда. Для рассматриваемого образца с электронным типом проводимости это будут дырки. Это означает, что в выражении для F(Y,λ) можно пренебречь всеми членами, кроме экспоненциального, описывающего вклад неосновных носителей заряда- дырок

. (4.5.8)

Решение второго интеграла Пуассона принимает вид

(4.5.9)

Так же как остальные параметры ОПЗ, эффективная длина экранирования определяется для слоя инверсии не основными для данного образца полупроводника носителями заряда. Вся область пространственного заряда состоит из собственно инверсного слоя и следующего за ним слоя обеднения. Как видно из рис.4.10, инверсионный слой ,обогащенный неосновными носителями (дырками), много тоньше слоя обеднения и, соответственно, падение напряжения на первом слое много меньше.

В то же время необходимо всегда иметь в виду, что практически весь положительный объемный заряд сосредоточен именно в инверсном слое.

Рис. 4.10. Распределение потенциала в инверсионном слое

Поверхностное квантование

Из рис. 4.10 видно ,что носители заряда у поверхности располагаются в потенциальной яме. Одна граница этой ямы- поверхность, другая – слой обеднения. По мере увеличения изгиба зон поперечный размер такой потенциальной ямы позволяет говорить о возникновении размерного квантования. Такая квантовая приповерхностная яма обычно аппроксимируется треугольной потенциальной ямой, которая является вариантом прямоугольной потенциальной ямы (Рис. 4.11)

Рис. 4.11. Диаграмма энергетических уровней в треугольной и прямоугольной потенциальных ямах (вверху) и зависимость плотности состояний от энергии N(E) для этих случаев (внизу)

Движение носителей заряда в потенциальной яме является хорошо известной Ψ задачей в волновой механике для твердого тела.

Выше говорилось, что построение зависимости поверхностного потенциала от расстояния вглубь образца основывается на решении уравнения Пуассона. Для его решения необходимо знать распределение поверхностного заряда перпендикулярно к поверхности (z).

Для отыскания такого распределения в квантово-механическом случае необходимо знать вид волновой функции электрона в инверсионном слое в условиях размерного квантования. В приближении эффективной массы волновая функция Ψ описывается уравнением Шредингера

(T-q V(z))Ψ(x,y,z)=EΨ(x,y,z) , (4.6.1)

Где Т – оператор кинетической энергии, а Е – энергия электрона. Потенциал V(z) находиться из уравнения Пуассона и обычно является функцией расстояния z.

Волновая функция записывается в обычном виде

(4.6.2)

где k_x и k_y -квазиимпульсы в соответствующих направлениях, а -величина, зависящая от этих квазиимпульсов [12].

Уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения. Первое из них описывает одномерное движение в направлении z и имеет вид

(4.6.3)

Причем для z=0 и z=∞ ξ(z)=0.

Второе уравнение описывает двумерное движение вдоль поверхности

(4.6.4)

Каждое собственное значение E_i находится из решения уравнения и представляет собой дно i–й подзоны с энергией

, 0, 1, 2… (4.6.5)

Хотя массы в этом уравнении только в исключительных случаях совпадают с таковыми в объеме, использование последних в расчете поверхностных квантово-размерных структур приводит к очень небольшим ошибкам.

Если перейти к обычному представлению разрешенных состояний в виде зависимостей E(k), то получим ряд парабол, каждая из которых начинается в минимуме энергии (0), i =0,1,2…

Для направлений x,y-непрерывные параболы, а для направления z (перпендикулярно к поверхности) получаем только точки разрешенных состояний (рис. 4.12)[15].

Рис. 4.12. Вид энергетических подзон вдоль основных направлений в кристалле [15]

Двумерная плотность состояний на единицу поверхности D(E) для одной подзоны без учета вырождения по спину согласно (3.1.14б) имеет вид

(4.6.6)

Эта плотность состояний не зависит от энергии (в отличие от объема). Теперь достаточно просто рассчитать поверхностную концентрацию электронов в i–й подзоне. Согласно (3.2.3.)

(4.6.7)

Необходимо отметить, плотность состояний и соответственно концентрация электронов будут зависеть от ориентации поверхности кристалла. Это легко понять из рис. 4.13, где представлены изображение и расположение поверхностей постоянной энергии для различных полупроводников.

Рис.4.13. Форма и расположение изоэнергетических поверхностей в Ge, Si, GaAs [16]

Видно, что эти поверхности представляют собой для Ge восемь эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [111], для Si имеется шесть эллипсоидов вытянутых вдоль осей [100], для GaAs-поверхности постоянной энергии сферы с центром в центре зоны Брюллюэна. Ясно, что эффективная масса для различных направлений будет различна, а следовательно, будут меняться плотность состояний в подзоне и концентрация электронов.

Рис. 4.14. плотность пространственного заряда, рассчитанная для случая отсутсвия квантования (классический случай – кривая 1) и при его наличии для двух ориентаций поверхности (кривые 2,2)

Это хорошо видно на рис. 4.14, где приведены взятые из [14] результаты расчета концентрации электронов n для классического случая и при поперечном квантовании энергетического спектра.Так как в случае инверсии именно они определяют величину ОПЗ, то, следовательно, представлено и пространственное распределение зарядовой плотности в поверхностной области кристалла. Плотность электронов в инверсионном слое в зависимости от координаты рассчитывается по следующей формуле:

(4.6.8)

Выражение для плотности заряда от координаты имеет вид

(4.6.9)

Из рисунка видно, что расчет проводился для температуры жидкого гелия. Это важно отметить, что расщепление сплошного спектра на локальные уровни будет иметь существенное значение только, если расстояние между уровнями превышает размытие (уширение) последних, связанное с теплом или рассеянием. Используя понятие времени релаксации с учетом всех возможных механизмов рассеяния, это условие можно записать в виде

(4.6.10)

В качестве иллюстрации приведем результаты расчета системы квантовых уровней, полученных в [12] в зависимости от индуцированного заряда (рис.4.15).

Рис.4.15. Зависимость энергии квантования уровней от полной плотности индуцированного заряда

Из рис.4.15 легко понять возникновение уровней с обозначениями E₁ и E₁ (E₀ и E₀). В направлении эффективная масса имеет два значения. Первое соответствует направлению вдоль большой оси эллипса, второе – вдоль малой. Следовательно, имеются как бы две группы электронов с «легкими» и «тяжелыми» массами квантования. Это и приводит к хорошо видимому на рисунке чередованию подзон квантования.

Интересно отметить, что в случае германия, где коэффициент анизотропии K=m/m равен 20 (для кремния 5), для (111) поверхности первые три ползоны для электронов с тяжелой массой (рис.4.16) лежат ниже первой подзоны для электронов с легкой массой.

Рис.4.16. Поверхности постоянной энергии ( фрагмент) для (111) поверхности Ge ,объясняющие возникновение двух типов подзон квантования.

В тоже время плотность состояний, определяемая эффективными массами вдоль поверхности с «легкой» массой квантования, значительно выше. Такое соотношение масс приводит к парадоксальному результату – заполнение вышележащих уровней оказывается больше, чем нижележащих. Это хорошо видно на рис.4.17, взятом из [16], где впервые был проведен такой расчет для инверсионных слоев на германии.

Рис.4.17. Энергетическая диаграмма ОПЗ с указанием заселенности квантовых подзон для ориентации поверхностей (111) (а) и (100) (б); штриховые линии – положения квантовых подзон для электронов с более легкой массой квантования; цифры – процентный вклад заполнения данного уравнения в общею плотность заряда

В дальнейшем было установлено, что время релаксации сильно зависит от среднего расстояния центра симметрии электронной плотности для различных подзон, что позволило объяснить ряд экспериментов, посвященных приповерхностным явлениям переноса (холл-фактора [17] и магнетосопротивления [18] в инверсионных каналах –типа на германии.

Необходимо отметить, что большой класс транспортных явлений в МДП- структурах был правильно объяснен только после разработки описанной выше квантово-механической модели. Также показано, что эти эффекты следует учитывать для случая сильной инверсии даже пре комнатной температуре.

Эксперимент по обнаружению размерного квантования в тонких пленках висмута впервые был выполнен в нашей стране [19,20]. В этих работах однозначно показана осцилляционная зависимость проводимости, а также постоянной Холла и магнетосопротивления от толщины пленки (рис.4.18).

Рис. 4.18. Зависимость магнетосопротивления, холловской подвижности, постоянной Холла и нормализованного сопротивления от толщины пленки висмута при различный температурах [19]

Суть явления заключается в том что в пленках, толщина которых сравнима с длиной волны электрона, при изменении толщины энергетическое положение уровней размерного квантования меняется. Электронные свойства металлов и вырожденных полупроводников определяются электронами, близкими по энергии к уровню Ферми. Значит, на всех зависимостях кинетических коэффициентов от толщины должны наблюдаться экстремумы при прохождении квантовых уровней через уровень Ферми, что и наблюдается в эксперименте. Теория этих явлений сформулирована в [21],в русскоязычной литературе этому вопросу посвящен обзор [22].

ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГОПОЛЯВ 2D-СИСТЕМАХ

Как показано выше, толщина слоя полупроводника, в котором существуют заряд и электрическое поле, характеризуется длиной экранирования L_Э. При наличии носителей заряда только одного знака, например электронов, длина экранирования может быть представлена в виде

(4.7.1)

Здесь L_D-длина экранирования Дебая

D-коэффициент диффузии; - подвижность электронов.

В случае произвольного легирования соотношение Эйнштейна принимает вид

; (4.7.2)

здесь ξ=E_F-E_C- химический потенциал. Отсюда

. (4.7.3)

Таким образом, длина экранирования определяется скоростью изменения химического потенциала при изменении концентрации носителей заряда, экранирующих электрическое поле

Используя (3.2.1) и (4.7.2), для массивных кристаллов (3D-системы) получим

; (4.7.4)

здесь F _j(η) -интеграл Ферми индекса j,

,

η =(E_F-E_C)/k₀T.

аналогично из (4.7.3)

; (4.7.5)

здесь

-эффективная плотность состояний

Для невырожденного электронного газа, когда exp(ε-η)>>1, из (4.7.4) и (4.7.5)

и L_Э=L_D. (4.7.6)

В случае сильного вырождения и низких температур, когда η>>1, ,из(4.7.4) и (4.7.5) получаем

(4.7.7)

. (4.7.8)

Для 2- систем, когда, например, тонкий слой узкозонного полупроводника выращен между слоями широкозонного, соотношение Эйнштейна принимает вид

(4.7.9)

Где ε_n =E_n/(k₀T), E_n–энергия, соответствующая минимуму подзоны с номером n.

В отсутствии вырождения , когда , согласно(4.7.9)

Таким образом, в невырожденном случае, когда вероятность заполнения электронных состояний описывается распределением Максвелла-Больцмана, соотношения между коэффициентом диффузии и подвижностью в условиях термодинамического равновесия для двух- и трехмерного газа электронов совпадают.

При наличии вырождения и низких температурах, когда (η- ε_n)>>1 и граница Ферми располагается между минимумами первой (E₁) и второй (E₂) пленочных подзон,

. (4.7.10)

Таким образом, в вырожденном случае отношение (D/ )_2D будет расти с увеличением концентрации носителей заряда (как и в случае 3D-систем в соответствии с ростом E_F (4.7.7)

Используя (3.2.11) и (4.7.10), можно показать, что при заполнении одной подзоны двумерная проводимость G будет связана с коэффициентом диффузии соотношением

(4.7.11)

По мере увеличения концентрации и приближения уровня Ферми к минимуму второй подзоны в (4.7.9) возрастает роль слагаемых с n>1. В момент, когда граница Ферми пересечет дно второй подзоны.

,

Т.е. произойдет уменьшение отношения (D/ )_2D, причем в пределе скачок достигнет величины

, (4.7.12)

которая для БПЯ зависит от толщины пленки W как W^-2..

Сопоставляя (4.7.10) и (4.7.12), видим, что в момент пересечения границей Ферми второй квантовой подзоны значение (D/ )_2D при низких температурах может уменьшиться в два раза.

Рис. 4.19 Зависимость отношения от положения уровня Ферми ς в зоне проводимости GaAs.

Результаты численных расчетов отношения (D/ )_2D для слоя GaAs при W=20 нм приведены на рис. 4.19. видно, что аномальное поведение (D/ )_2D в этом случае следует учитывать при температурах ниже 80 К и концентрации электронов 10¹⁸ см^-3.

Рис. 4.19. Зависимость отношения (D/ )_2D от положения уровня Ферми ξ в зоне проводимости GaAs [23]

Используя (3.2.11),(4.7.3) и длины экранирования в условиях одномерного ограничения (2D-системы) можно представить в виде

(4.7.13)

В отсутствии вырождения из (4.7.13) с учетом (3.2.3) получим

Т.е. в отсутствие вырождения выражение для длины экранирования L_Э^(2D) совпадает с соответствующим выражением для L_Э^(3D) массивных кристаллов.

При наличии вырождения и низких температурах, когда уровень Ферми находится между первой и второй пленочными и , (η- ε_n)>>1 ,из (4.7.13) получим

(4.7.14)

В предельном случае, когда Т 0 и заполнены n₀ подзон, из (4.7.13) с учетом (4.7.14) имеем

= ; (4.7.15)

Здесь n₀- номер высшей подзоны, дно которой пересек уровень Ферми.

На рис. 4.20 представлены результаты расчетов зависимости длины экранирования от заполнения зоны проводимости пленки GaAs приW=20 нм. Видно, что ступенчатый характер зависимости плотности состояний от энергии в КЯ обеспечивает неизменность длины экранирования при заполнении отдельной подзоны. По мере заполнения вышележащих подзон длина экранирования уменьшается. С понижением температуры эта зависимость приобретает ступенчатый характер.

Рис.4.20. Зависимость длины экранирования от положения уровня Ферми в зоне проводимости пленки GaAs[24].

Если концентрация электронов остается постоянной, то при изменении толщины пленки W значение n₀ будет скачком изменяться, что вызовет осцилляции длины экранирования (рис.4.21.)

Рис. 4.21. Зависимость длины экранирования от толщины пленки при различной концентрации электронов; справа показаны значения отношения в объемном GaAs при

В свою очередь изменение длины экранирования может вызвать резкие изменения других характеристик материала пленки. Например, вариации толщины пленки , концентрации или температуры могут приводить к резким изменениям энергии связи экситона и экситонной полосы поглощения.

Квантование энергетического спектра влияет на экранирование электрических полей и в легированных свехрешетках (n-i-p-i-кристаллах). Особенности экранирования с учетом хвостов плотности состояний, возникающих в результате флуктуаций концентрации примесей, рассматривались в работах [25-27].

Особенности экранирования электрического поля в квантовых проволоках

Рассмотрим поведение длины экранирования и отношения кинетических параметров D/µ в структурах с ограничением движения по двум направлениям (1D-системы). Согласно (4.7.2) и (4.7.3) выражение для( D/µ)_1D и L_Э ^(1D) можно представить в виде

; (4.8.1)

(4.8.2)

здесь - эффективная плотность состояний для 1D-системы, W и d-толщина квантовой проволоки вдоль осей y и z соответственно.

Согласно (4.8.1) и (4.8.2) в отсутствие вырождения, когда(ε₁₁-η)>>1 , как и в случае 2D-систем,

,

При сильном вырождении и низких температурах, когда

(4.8.3)

Если граница Ферми расположена между первой и второй подзонами, то из (4.8.3) получим

. (4.8.4)

Сопоставляя (4.7.7), (4.7.10) и (4.8.4),видим, что и в этом случае при понижении размерности системы зависимость D/µ от E_F качественно не изменяется.

При увеличении E_F (т.е.при возрастании концентрации электронов отношение D/µ будет расти.

Когда уровень Ферми пересечет дно второй подзоны, согласно (4.8.3)

. (4.8.5)

Сравнение (4.8.5) с (4.8.4) показывает, что в момент прохождения уровнем Ферми дна второй подзоны произойдет уменьшение отношения (D/µ)_1D .при этом предельный скачок (при Т_0) (D/µ)_1D составит

. (4.8.6)

Если структура в сечении имеет размеры W=d.

Согласно (4.8.6) с (4.8.4) в предельном случае скачок составит100%, т.е. отношение (D/µ)_1D скачок уменьшится до нуля, а затем будет снова расти в соответствии с (4.8.5). при прохождении уровнем Ферми дна третьей подзоны должно наблюдаться скачко-образное уменьшение (D/µ)_1D до нуля.

В общем случае при наличии вырождения и низких температурах согласно (4.8.1) с увеличением E_F значение (D/µ)_1D осциллирует. Эти изменения (D/µ)_1D связаны схарактером зависимости средней энергии электронов от их концентрации и в этом смысле аналогичны осцилляциям (D/µ)_1D в квантующих магнитных полях.

Результаты численных расчетов отношения (D/ )_1D для квантовой проволоки из GaAs при W=d=20нм приведены на рис.4.22. Видно, что «аномальное» поведение (D/ )_1D следует учитывать при температурах ниже 80 К и концентрации 10¹⁸ см^-3

Рис.4.22. Зависимость отношения (D/ от положения уровня Ферми ξ в зоне проводимости GaAs [23]

В случае сильного вырождения и низких температур выражение для принимает вид

(4.8.7)

Зависимость L_Э^(1D) от приведенного уровня Ферми, рассчитанная с использованием (4.8.7),показана на рис. 4.23. В качестве нормирующих коэффициентов при этом использовались

, .

Рис. 4.23. Зависимость изменения длины экранирования L_Э^(1D) от положения уровня Ферми для квантовой проволоки

Сопоставляя результаты анализа поведения отношения D/ и длины экранирования в зависимости от положения уровня Ферми (а значит, и от концентрации электронов ) для тонкой пленки и квантовой проволоки, при наличии вырождения газа электронов, можно сделать вывод, что с понижением размерности системы осцилляции D/ и L_Э становятся выраженными сильнее.