Задания к практическому занятию

1. Точка М делит отрезок АВ в отношении :. Найти координаты точки М, если А(x_A;y_A;z_A), В(x_В;y_В;z_В).

2. Даны 2 вектора; убедиться, что, отложенные из одной точки, они образуют равнобедренный треугольник и найти угол при основании:

3. Пусть . Найти длину вектора .

4. Пусть . Найти угол между векторами

5. Даны 3 точки; найти проекцию точки С на прямую AB

A(-4, 4, 9), B(-1, 10, 1), C(-7, -10, 11)

6. Даны 2 противоположные вершины квадрата A(1, -1), С(2, 4). Найти оставшиеся две вершины.

7. Даны 3 точки: A(-2, 1), B(0, -2), C(5, 2). Найти точку М пересечения высот треугольника АВС

8. Два вектора отложены от одной точки; выяснить, является ли образованный ими треугольник прямоугольным, и найти его площадь:

9. Два вектора, отложенные из одной точки, образуют две стороны параллелограмма: . Найти площадь параллелограмма, если

10. Данные векторы, отложенные из одной точки, образуют две стороны треугольника. Найти высоту, опущенную на третью сторону:

11. Даны 2 вектора; найти высоту образованного ими параллелограмма, опущенную из конца вектора .

12. Даны 3 вектора; найти площадь треугольника, образованного концами этих векторов, отложенных из одной точки:

13. Даны 3 точки; найти расстояние от точки А до прямой ВС:

А(-4, 2, 1), В(1, -5, 5), С(3, 1, 4)

14. Найти единичный вектор (орт), перпендикулярный векторам

15. Показать, что данные векторы компланарны:

16. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами

A(2;2;2), B(4;3;3), C(4;5;4), D(5;5;6)

17. Даны три вектора: {1;-2;0}, {2;3;-1}, {3;0;а}. Найти такое значение параметра а, чтобы эти векторы были компланарны.

18. Даны 3 вектора; найти высоту образованной ими пирамиды, опущенную из конца вектора .

19. Даны 4 точки; найти расстояние от точки D до плоскости ABC:

A(-1, -1, -4), B(2, 5, -2), C(3, 3, 1), D(25, -4, 1)

6-7. Аналитическая геометрия на плоскости

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат

Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

(АВ): .

Приведем уравнение к общему виду:

(АВ): x-2y-1=0

Проверка:

точка А принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 1-20-1=0 – верно. точка В принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 3-21-1=0 – верно.

Найдем точку Е пересечения прямой (АВ) с осью Ох. Имеем: , то есть y_E=0. Поскольку также , координаты искомой точки должны удовлетворять уравнению прямой (АВ), то есть х_Е-2y_E-1=0. Подставляя y_E=0, получаем x_E=1. Таким образом, .

Аналогично находим .

2. Написать уравнение прямой l₁, проходящей через точку C параллельно прямой (АВ).

Решение: Уравнения параллельных прямых отличаются только свободным членом, то есть уравнение прямой будет иметь вид

l₁: x-2y+c=0,

где с – некоторое число, которое мы можем найти из второго условия:

, следовательно, координаты точки С должны удовлетворять уравнению прямой l₁:

-2-25+с=0, откуда получаем с=12.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение

l₁: x-2y+12=0.

3. Написать уравнение прямой l₂, проходящей через точку C перпендикулярно прямой (АВ).

Решение: Для того, чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, достаточно поменять местами коэффициенты при х и у, изменив у одного из них знак на противоположный:

.

Коэффициент с найдем из условия , откуда с=-1.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение:

l₂: 2x+y-1=0.

4. Найти проекцию Р точки С на прямую (АВ)

Решение: Проекция точки С на прямую (АВ)- это основание перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую (АВ), то есть точка пересечения прямых (АВ) и l₂: . Поскольку искомая точка принадлежит обеим прямым, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Следовательно, требуется решить систему уравнений

Решением этой системы является пара чисел x=0,6; y=-0,2. Таким образом, искомая точка Р(0,6; -0,2).

5. Написать уравнение прямой l₃, проходящей через точку С под углом 45^о к положительному направлению оси Ох и найти угол между прямыми (АВ) и l₃

Решение: Используем уравнение прямой, проходящей через точку С(-2;5) с угловым коэффициентом k=tg45^o=1:

l₃: y-5=1(x-(-2)), или

l₃: х- y+7=0.

Далее, угол между прямыми равен острому углу между векторами, перпендикулярными этим прямым (или смежному если найденный угол тупой). Одним из векторов, перпендикулярных прямой, является вектор с координатами, равными коэффициентам при неизвестных в уравнении этой прямой.

Таким образом, имеем два вектора: и . Найдем косинус угла между векторами при помощи скалярного произведения:

.

Полученное число положительно, следовательно, угол острый и окончательно имеем

.