Тема III – основы математического анализа
8. Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Выполните письменно задания. Прочитайте §10 лекций.
Напомним для
начала, что числовая последовательность
– это бесконечный упорядоченный набор
чисел. Члены последовательности можно
пронумеровать, так что каждому натуральному
значению n
(1,2,3,…) соответствует член последовательности
(а1,
а2,
а3,…).
Таким образом, последовательность –
это функция, заданная на множестве
натуральных чисел. Задают последовательность
чаще всего формулой общего члена.
Например, если
,
то первые члены этой последовательности:
Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:
- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n+. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n.
- Последовательность
:
стремится к 0 при n.
Действительно, при очень больших
значениях n
значения
становятся очень
маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число . Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.
Пишут:
(предел при
n
равен 0) или иногда
.
- Сходным образом
и т.п. Вообще, если числитель дроби
постоянен, а знаменатель неограниченно
взрастает, то вся дробь стремится к 0.
При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:
предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);
предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);
предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).
Примеры.
1. Вычислить
.
Решение:
При n
и числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности. Говорят, что имеет
место неопределенность вида
.
Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2:
Аналогичным образом преобразуем знаменатель:
.
В целом получаем:
Заметим, что
слагаемые
при n
стремятся к 0 и, таким образом, после
сокращения дроби на n2,
имеем:
.
2. Вычислить
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:
.
3. Вычислить
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:
4. Вычислить
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:
Вопросы и задачи
п1. Выписать первые 4 члена последовательности:
а)
;
б)
;
в)
п2. Вычислить пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
