Задача 3. Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями її руху Теоретична довідка

Рух точки в кінематиці можна описати трьома способами: векторним, координатним та натуральним.

У разі векторного способу задання руху точки М її положення визначається радіус-вектором , який починається у нерухомому центрі. Кінець радіус-вектора визначає положення точки у кожний момент часу.

Радіус-вектор є функцією часу

.

Лінія, яку описує кінець радіус-вектора у просторі, називають траєкторією руху точки.

У разі координатного способу задання руху положення точки у вибраній нерухомій системі координат визначається трьома координатами, які є функціями часу

.

Якщо одна з координат відсутня, то точка рухається на площині.

У разі натурального способу задання руху вважають відомою траєкторію руху точки, а її положення на траєкторії визначається дуговою координатою , яку відраховують від початку руху (точка 0) у додатному напрямі. Дугова координати є функцією часу

.

Якщо початок декартової системи координат збігається з початком радіус-вектора точки, тоді

.

Швидкість точки у разі:

- векторного способу задання руху ,

- координатного способу задання руху

,

де - проекції вектора швидкості а координатні осі;

- натурального способу задання руху

.

Швидкість точки направлена вздовж дотичної до траєкторії точки у бік зростання дугової координати.

Прискорення точки у разі

- векторного способу задання руху ,

- координатного способу задання руху

,

де - проекції вектора швидкості а координатні осі;

- натурального способу задання руху модуль прискорення визначають через його проекції на осі натуральної системи координат (дотичну , нормаль та бінормаль ):

, , ,

де - радіус кривизни траєкторії.

Модуль повного прискорення визначають за формулою

.

Приклад 3.1. За заданим рівнянням руху точки М потрібно: визначити рівняння траєкторії руху точки та побудувати цю траєкторію; для моменту часу с знайти положення точки на траєкторії; швидкість точки; дотичне, нормальне та повне прискорення точки; радіус кривизни траєкторії. Всі визначені параметри показати на рисунку.

План розв’язування задачі

1. Скласти рівняння руху в координатній формі та, підрахувавши ряд значень ординат у при заданих абсцисах х, показати траєкторію руху точки на рисунку.

2. Для заданого моменту часу t = t₁ визначити положення точки М на траєкторії та показати її на рисунку.

3. Визначити проекції швидкості точки М на осі х, у, знайти модуль швидкості та показати на рисунку величини , , .

4. Знайти складові а_х , а_у вектора прискорення та показати на рисунку вектор .

5. Визначити дотичну а_τ та нормальну а_п складові вектора прискорення та показати їх на рисунку.

6. Знайти радіус кривизни траєкторії в заданий момент часу t=t₁.

7. Результати обчислень занести в таблицю.

Розв’язування

1. Щоб дістати рівняння руху в координатній формі, приймаємо, що початок декартової системи координат збігається з початком радіус-вектора . Тоді рівняння руху в координатній формі

, .

Для отримання рівняння траєкторії потрібно з рівнянь руху в координатній формі виключити час t. Для цього з першого рівняння знаходимо , тоді . Підставляємо значення у друге рівняння та дістаємо:

;

або

.

Рис. 11

Отримана залежність - це рівняння траєкторії руху точки. За цією залежністю будуємо траєкторію руху точки (рис. 11), якою є парабола.

2. Визначимо положення точки на траєкторії при с. Підставимо в рівняння руху час с. Дістаємо:

см; см.

За цими координатами наносимо на рис. 11 точку М.

3. Знаходимо проекції швидкості точки М на осі х, у.

Проекція на вісь х: см/c.

Проекція на вісь у: см/c.

Модуль швидкості см/c.

Показуємо на рисунку швидкості , , .

4. Визначаємо складові а , а_у вектора прискорення в точці М:

; см/c².

Модуль прискорення см/c².

Показуємо ці величини на рисунку.

5. Знаходимо дотичну і нормальну складові вектора прискорення та показуємо їх на рисунку:

см/c²,

см/c².

Величину а_п, для перевірки, знаходимо за формулою

см/c².

Результати обчислень однакові.

6. Визначимо - радіус кривизни траєкторії при t=t₁=0,5 c.

Використаємо формулу , з якої визначаємо :

см.

7. Результати обчислень заносимо в табл. 9.

Таблиця 9

Коорди нати см		Швидкість см/c			Прискорення см/c2					Радіус кривизни см
х	у				ax	ay	a	aτ	an	ρ
2,0	3,0	4,0	16,0	16,49	0	32,0	32,0	31,05	7,76	35