2.4Задачи
В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения:
|
|
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
Привести к простейшему каноническому виду уравнения:
3Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными
3.1Задача Коши для волнового уравнения. Метод характеристик
3.1.1Решение задачи Коши на прямой
Рассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения при отсутствии внешних сил
, (3.1)
. (3.2)
Выполнив замену
переменных
,
приведем уравнение (3.1) к каноническому
виду
.
Общее решение последнего уравнения
дается соотношением
,
где
– произвольные дважды дифференцируемые
функции.
Таким образом,
общее решение дифференциального
уравнения свободных колебаний струны
имеет вид:
.
Подбирая функции
так, чтобы функция
удовлетворяла приведенным начальным
условиям, приходим к системе
решая которую, находим
Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях дается соотношением
, (3.3)
которое носит название формулы Д’Аламбера.
В случае неоднородного уравнения (см. уравнение (1.2)) решение принимает вид
(3.4)
Пример 3. Найти решение задачи Коши для уравнения
в полуплоскости y>0, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Сначала найдем общее решение уравнения в полуплоскости y>0. Для этого приведем уравнение к каноническому виду.
Общими интегралами
характеристического уравнения
являются
.
Следовательно, в исходном уравнении
нужно сделать замену переменных
.
Тогда уравнение приводится к каноническому
виду
.
Интегрируя это уравнение, находим
.
Воспользуемся теперь заданными
начальными условиями:
Решая эту
систему, получаем
.
Следовательно, решением задачи является
функция
.
Пример 4. Найти решение задачи Коши
Решение.
Здесь a = 2,
.
Отсюда по формуле Д’Аламбера (3.3) получим
3.1.2Решение задачи Коши в пространстве
Решение задачи
дается формулой Пуассона
. (3.5)
В плоском случае формула Пуассона (3.5) принимает вид
(3.6)
Пример 5. Решить задачу Коши
Решение. Для нахождения решения задачи воспользуемся формулой (3.6). Посчитаем каждый интеграл в отдельности
Аналогично
Таким образом,
–
решение задачи.
3.1.3Задачи
Найти решение задачи Коши:
3.2Решение задач для волнового уравнения на полупрямой
3.2.1Решение задач с однородным краевым условием
Рассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения (3.1), (3.2). Нетрудно убедиться в справедливости следующих лемм.
Лемма 1.
Пусть в задаче (3.1), (3.2) функции, описывающие
начальные данные
,
нечетные относительно x= 0, т.е.
,
тогда решение этой задачи
обращается в 0 при x=0, т.е.
.
Лемма 2.
Пусть в задаче (3.1), (3.2) функции, описывающие
начальные данные
,
четные относительно x= 0, т.е.
,
,
тогда производная решения этой задачи
обращается в 0 при x=0, т.е.
.
Рассмотрим теперь смешанную задачу
(3.7)
Для решения
этой задачи нельзя непосредственно
воспользоваться формулой Д’Аламбера,
так как входящая в эту формулу разность
может быть отрицательной, в то время
как начальные функции
не определены для отрицательного
аргумента.
Продолжим нечетным образом функции на отрицательную ось и обозначим
Тогда решением поставленной задачи (3.7) будет функция
.
Действительно, при x > at получим соотношение (3.3), которое удовлетворяет уравнению (3.1) и начальным условиям. При x < at будем иметь
.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что и в этом случае функция удовлетворяет уравнению (3.1). Краевое условие выполнено в силу леммы 1. Таким образом, решение исходной задачи можно записать
(3.8)
Смешанная задача
решается аналогично, но при этом продолжаются четным образом. В результате получается
(3.9)