3.4.3Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений параболического типа

Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне , боковая поверхность которого и граница теплоизолированы, а на границе поддерживается нулевая температура, приводится к решению уравнения теплопроводности

(3.26)

при следующих граничных условиях

и начальном условии

Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (3.26) в виде . Подставляя заданное представление в исходное уравнение, приходим к уравнению для

(3.27)

и задаче для :

Найдем собственные числа и собственные функции этой задачи. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент  положителен, отрицателен и равен нулю.

При <0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий .

При =0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий .

При >0 общее решение примет вид , тогда из граничных условий

Найденным собственным числам соответствуют собственные функции

Значениям соответствуют следующие решения уравнения (3.27):

Тогда функции являются частными решениями уравнения (3.26) при любых постоянных . Следовательно, общее решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

.

Из начальных условий находим откуда

3.4.4Решение неоднородных задач методом Фурье

Задача о нахождении смещений точек однородной струны 0<x<l, жестко закрепленной на концах, в результате ее вынужденных колебаний под действием внешней силы с плотностью g(x), приводится к решению уравнения (1.2)

при начальных условиях (3.2)

и граничных условиях (3.21) .

Решение этой задачи ищется в виде суммы u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), где v(x,t) – решение задачи I, состоящей из неоднородного уравнения (1.2), граничных условий (3.21) и нулевых начальных условий .

w(x,t) – решение задачи II, состоящей из однородного уравнения , граничных условий (3.21) и начальных условий (3.2).

Решение v(x,t) описывает вынужденные колебания струны (эти колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы при отсутствии начальных возмущений), а решение w(x,t) описывает свободные колебания струны (они обусловлены начальными возмущениями).

Задача II решена ранее (см. п. 3.4.2).

Функцию v(x,t) будем искать в виде ряда

(3.28)

по собственным функциям задачи II. Подставляя (3.28) в (1.2), получим

Разлагая функцию в интервале в ряд Фурье по собственным функциям задачи II и приравнивая коэффициенты при одинаковых членах ряда, приходим к дифференциальным уравнениям

(3.29)

где . Решая уравнения (3.20) при нулевых начальных условиях , находим , а затем определяем с помощью формулы (3.28). Заметим, что решение для однородных начальных условий можно представить в виде

Тогда решение задачи (1.2), (3.2), (3.21) представляется в виде

где коэффициенты определяются формулами (3.25).

Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются по некоторому закону, сводится к решению уравнения (1.2) при начальных условиях (3.2) и граничных условиях вида

. (3.30)

Решение задачи (1.2), (3.2), (3.30) может быть представлено в виде u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), где функция w(x,t) подбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям. В случае, когда заданы условия первого рода (3.30), эту функцию можно построить следующим образом: .

Тогда функция v(x,t) будет удовлетворять уравнению

, где .

В этом нетрудно убедиться, подставив в уравнение (1.2) представление u(x,t) в виде суммы двух функций. При этом начальные условия для v(x,t) примут вид ,

а граничные – .

Таким образом, для нахождения v(x,t) приходим к задаче типа (1.2), (3.2), (3.21).