§7. Друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі.

Екстремалі функціонала J[y₁(x),y₂ (x),…,y_m (x)]=

= F(х,у₁,у₂ ,...,у_m , у'₁ ,у'₂,...,у'_т)dх.

Розглянемо функціонал

J[у ₁(х),у₂(х), …,у_т(x)] = F(х,у₁ , у₂,,…,у_т, , у'₁ ,у'₂,...,у'_т)dх.

y_k С^(І)[х₀,x₁]; k = при граничних умовах: у_k (х₀) = , k = .

Екстремалі цього функціоналу знаходяться як розв'язки системи диференційованих рівнянь другого порядку

Приклад 1. Знайти екстремалі функціонала

J[у(х),z(x)]= (у'²+z²+ z^'2 )dx при граничних умовах:

у(1)=1, z(1) = 0,

у(2) = 2, z(2) =1.

Система рівнянь має вигляд:

F= у ^{' 2}+z²+z '²

y=c₁ x+c₂.

z=c₃ e^x+c₄ e^-x.

3 граничних умов маємо: с₁ = 1; с₂ =0; с₃ = ; с₄ =

Шукана екстремаль: - просторова крива, яка є перетином двох

циліндричних поверхонь.

Приклад 2. Знайти екстремалі функціонала:

J[у(х),z(x)]= (2yz – 2y² + y'² - z'² ) dx при граничних умовах:

у(0) = 0, у(π)=1,

z(0) =0, z(π) = -1.

Система рівнянь Ейлера має вигляд:

Виключивши z, маємо у^ІV + 2у" + у = 0.

Загальний розв'язок цього рівняння:

у(х) = c₁ cosx + c₂sinx + х(c₃cosx + c₄sinx).

Використовуючи граничні умови, одержимо сім'ю екстремалей

y = c₂sinx – cosx,

z = c₂sinx + (2sinx - xcosx),

с₂ - довільна стала.

Задачі. Знайти екстремалі функціоналів:

1. J[у(х),z(x)]= (2z-4у² +у' ²-z' ²)dх

y(0) = 0, у(π/4)=1,

z(0)=0, z(π/4)=1. В. у = sin2х, z =

2.J[у(х),z(x)]= (2ху-у' ²+ )dх

у(1)=0, у(-1) =2, z(1)= 1, z(-1) = -1. В.у=1/6(х² + 5х - 6); z = х.

3. J[у(х),z(x)]= (y'²+z'²-2yz)dx

у(0) = 0, у(π/2)=1,

z(0) = 0, z(π/2)=1. B.

4. J[у(х),z(x)]= ( у'² +z' ²+2у)dх

у(0)=1, у(1) = 3/2,

z(0) = 0, z(1)= 1. B.

Приклад 3. Знайти екстремалі функціоналу.

J[у(х),z(x)]= (ху₁' ² +у'₂² + ху'₁ у'₂)dх 0 < а < b< 4.

Розв'язання. Оскільки F не містить явно у ₁ і у₂, то система рівнянь Ейлера

матиме вигляд

Звідси одержимо х(2y'₁ + у'₂ )= с₁, xy'₁ + 2у'₂ = с₂, тобто

Таким чином шуканими екстремалями є функції:

y₁ = 1n(4 - x) + 1nх + с₃,

у₂ =(с₁ -2с₂)1n(4-х) + с₄.

Задачі. Знайти екстремалі функціоналів:

5.J[y₁(х),у₂(х)]= (2у₁ cosх + 2у²₂ +2у'₁ у'₂ + y'²₁ -у'₂²)dх

В. у₁= -х²/2sinх - соsх – c₁ cosх - с₂sinх + с₃х + с₄;

у₂ = -x²/2sinx+ c₁ cosх +с₂sinх.

6. J[y₁(х),у₂(х)]= (2у₁у₂+у'² -у' ²₂)dх

В. у₁= c₁ e^х + с₂е ^-х + с₃соsх + с₄sinх;

у₂ = c₁ e^х + с₂е ^-х - с₃соsх - с₄sinх.

7. J[y₁(х),у₂(х)]= (y² +

В. у₁ = c₁ cosх +с₂sinх.

8. J[y₁(х),у₂(х)]=

В. у₁ = c₁ x+ с₂;

у₂ = с₃х +c₄

9. J[y₁(х),z(х)]= (2yz-2y² + у' ² - z' ²)dх.

10. J[y(х),z(х)]= (2yz-2y² + у' ² - z' ²)dх. B.y=

z=2y+y" і z – визначити .

-

§8. Умовний екстремум функції багатьох змінних г, с*

Нехай маємо функцію z = f(х_ь х₂, ..., x_n ), визначену в області (D) простору Е_n. Нехай також змінні x₁, х₂, ..., х_п пов'язані m(m < n) рівняннями зв'язку :

Нехай х⁽⁰⁾ = (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) - внутрішня точка області (D).

Функція f(х_1, х₂, ..,, х_n) має в точці (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) умовний максимум (мінімум), якщо нерівність

f(х_1, х₂, ..,, х_n) <f(х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) (2)

(f(х_1, х₂, ..,, х_n) >f(х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰)) виконується в околі точки (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) при умові, що точки (х₁, х₂, ..., х_n) і (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) задовольняють рівнянням зв'язку.

Якщо маємо функцію z, = f(х, у) і одне рівняння зв'язку φ(х, у) = 0, де це рівняння визначає у як однозначну диференційовану функцію у = ψ(х), то умовний екстремум приводиться до безумовного екстремуму функції

z= f(х, ψ(х)).

Якщо ж рівняння φ(х, у) = 0 не є розв'язним відносно у або в випадку функції п змінних для знаходження умовного екстремуму використовують допоміжну функцію Лагранжа (метод невизначених множників Лагранжа).

Припустимо що:

1) функції f(х_1, х₂, ..,, х_n) і φ(х_1, х₂, ..,, х_n) (i = ) мають неперервні

частинні похідні першого порядку області (D);

2) m< n і ранг матриці кожній точці області (D)

дорівнює m.

Складаємо функцію Лагранжа:

(3) Ф = f+ , де -невизначені сталі множники.

Функція Ф(х_1, х₂, ..,, х_n) досліджується на безумовний екстремум, тобто складається система рівнянь:

з якої і з m рівнянь зв'язку

Визначають значення параметрів і координати (х_1, х₂, ..,, х_n) можливих точок екстремуму.

Умови (4) є необхідними умовами екстремуму. Точка (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) є стаціонарною точкою, якщо вона є розв'язком системи (4). Для дослідження стаціонарної точки на умовний екстремум функції Лагранжа f(х_1, х₂, ..,, х_n) складаємо її другий диференціал, що є квадратичною формою

В(dx₁ , dх₂,..., dx₂) = (5) з врахуванням в цій точці умов

Якщо квадратична форма (5) -знаковизначена, то в точці (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) буде строгий умовний екстремум і вираз — mах, якщо квадратична форма (5) від 'ємно визначена і тіп, якщо квадратична форма (5) додатно визначена. Якщо ж ця квадратична форма невизначена, то точка (х₁⁰, х₂⁰, ..., х_n⁰) не є точкою умовного екстремуму. Зауважимо, що відсутність умовного екстремуму для функції Лагранжа Ф(х_1, х₂, ..,, х_n) ще не означає відсутність умовного екстремуму для функції

f (х_1, х₂, ..,, х_n)

Приклад 1. Знайти екстремум функції z = ху при умові у - х = 0.

Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа

Ф(х, у) = ху + (у - х).

Утворимо систему для визначення і координат можливих точок екстремуму.

Одержуємо х = у = 0; λ = 0. Функція f(х, у) = ху. В точці (0, 0) функція

f(х, у) = ху = 0 при умові у =х має умовний екстремум. Дійсно при цьому z=х² в точці х = 0 є min, то в точці (0, 0) - умовний min.

Приклад 2. Знайти умовний екстремум функції f(х, у, z).= хуz при умовах

х+у-z -3=0

х-у-z-8 = 0.

Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа

Ф(х, у, z) = хуz + λ₁(х + у – z - 3) + λ₂(х - у - z - 8) і випишемо систему рівнянь для визначення параметрів λ₁, λ₂ і координат можливих точок екстремуму:

Pозв'язуючи цю систему, одержимо

λ₁ = 11/32, λ ₂ = -231/32, х = 11/4, у = -5/2, z= -11/4.

Другий диференціал функції Ф(х, у, z) має вигляд:

Маємо d²Ф = 2zdхdу + 2уdхdz + 2хdуdz.

Bикористовуючи рівняння зв'язку, отримаємо, що

Підставляючи в d² Ф, одержимо В(dx) = 2уdх²

В стаціонарній точці В =-5dx²<0 то в точці (11/4,-5/2,-11/4) маємо max , що дорівнює f _mах ⁼ 605/32.

Приклад 3. Знайти екстремум функції z = соs ²х + соs² у при умові

y-x = π /4.

Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа:

Ф(х ,y,λ ) ⁼ cos² х + соs²у + λ ( у - х - π/4) i виписуємо систему рівнянь для визначення параметра λ і координат можливих точок екстремуму

або , тобто

2sin(x+y)cos(y-x) =0, але cos(y-x)= , то sin(x+y)=0

k=0, .

x= k ; у= k π/2+ π / 8 ; k=0 , .

Знаходимо другі похідні функції Ф(х, у):

В точках Р_k(kπ/2 - π/8, kπ/2 + π/8) маємо

Ф"_xx ·Ф''_yy - (Ф"_xy )² = 4соs(kπ - )соs(kπ + )= 2соs2 kπ = 2 > 0 .

Значить в точках Р_k є умовний екстремум. Далі, при k = 2n

<0 , а тому в точках Р_2n - умовний mах: z_mах = 1 + , при k= 2n + 1 будемо мати >0, то в точках P_2n+1 - умовний min: z_min=1- .

Задачі. Знайти умовний екстремум:

1. f=ху, при х² + у².

B. f_min= т. в т .

2. f = хуг, при умовах х + у + z = 5, ху + уz + zх = 8.

В. f _min = 4в т (2,2,1), (1,2,2),(2,1,2); f_max = 4 в т

3. f= е^ху, при х + у = а . В. f_mах = .

4. f = 6-4х-Зу,при х² + у²=1.В.f_min = 1 в т ;f_max=11в т .

5. f = x-2у-2z, прих² + у² + z ² = 9. В. .f_min = -9 в т . (-1,2,-2); f_max=9 в т . (1,-2,2).

6. f =sinxsinysinz, при х + у + z =π/2, х > 0, у > 0, z >0. В. f_max = в т .

7. Знайти відстань між параболою у = х² і прямою х - у = 5. В. .