§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.

Розглянемо задачу про знаходження екстремуму функціоналу

J[у(x)] = F(х,у,у' )dx при граничних умовах у(х₀) = у₀, у(х₁) = у₁ причому

екстремаль може мати кутову точку с (x_о, х₁). Умова існування кутової точки: F''_у'y' =0. В кутовій точці с екстремаль повинна задовольняти умовам

Вейєрштрасса-Ердмана:

Разом з умовами неперервності шуканої екстремалі вони дозволяють визначити координати кутової точки.

На кожному з відрізків [х_о; с] і [с₁; х₁] екстремаль повинна задовольняти рівняння Ейлера (диференціальне рівняння 2-го порядку). При розв'язуванні цих двох рівнянь одержується чотири довільних сталих, які знаходяться з граничних умов і умов Вейєрштраса-Ердмана в кутовій точці.

Якщо кутових точок кілька, то таке дослідження проводиться в кожній з них.

Приклад І. Знайти екстремалі з кутовими точками (якщо вони існують)

функціонала J[у(x)] = ( у' ² -у² ) dх.

Розв'язання. Перша умова Вейєрштраса-Ердмана

F'_y' |_х=с-о= F'_у' |_x=с+о, 0 < с < а, дає в кутовій точці у'(с - 0) = у'(с + 0), тобто у'(х) при

х = с - неперервна. Отже кутової точки немає.

Це слідує також з того, що F"_y'y' = 2 > 0 х [0;а]. Значить, даний

функціонал має екстремум лише на гладких кривих.

Приклад 2. Знайти екстремалі з кутовими точками функціоналa

J[у(x)] = ( у' ⁴ - 6у² ) dх.; у(0) = 0; у(2) = 0, припускаючи, що у' може мати

одну точку розриву з абсцисою х = с.

Розв'язання Умова існування кутової точки дає: F"_y'y' = 12у' ² -12 = 0, а тому кутова точка в екстремалі можлива. Оскільки підінтегральна функція залежить лише від у', то екстремалями є прямі у = c₁ x + с₂.

Покладемо у _{- 0} = Ах + В; х [0; с); y _{+ 0} = Сх + D (с = х < 2). З граничних умов знаходимо В = 0; В = -2С, то у _{- 0} = Ах; у₊₀ = С(х - 2).

Умова неперервності екстремалі: y_{(c + о)} ⁼ y_(с-О) дає Ас = С(с - 2). (*) Умови Вейєрштраса-Ердмана дають систему: Але у' _-0 = А; у'₊₀ = С, то aбo

З другого рівняння маємо А = С або А = - С або А² +С² -2 = 0. Розв'язок А = С відкидаємо, бо при цьому екстремаль має неперервну похідну, а з умови (*) одержуємо, що А = 0, тобто екстремаль - відрізок осі ОХ.

Отже, розв'язок системи (**) зводиться до розв'язування слідуючих систем

i

Розв'язок першої системи: А = , С = - i А = - , С = .Розв'язок

другої системи: А = С повинен бути відкинутим. Отже, А = - С і умова

неперервності (*) дає С=1.

Значить шукані екстремалі: i

Задачі. 1.Знайти екстремалі з кутовою точкою для

функціонала J[у(х)] = у' ² (у'-1)² dx , у(0) = 0; у(2) = 1.

В. Ламані, складені з відрізків прямих у = х і у = 1 або з відрізків прямих у = 0 і у = х-1, дають абсолютний мінімум. Пряма у = дає слабкий максимум.

2. Знайти розв'язок з однією кутовою точкою в задачі про мінімум

функціонала J[у(х)] = (у'-1)² (y'+1)dx, у(0) = 0, у(4) = 2.

В. у = - х при х [0;1]; у = х- 2 при х [1;4] і у = х при х (0;3]; у = - х + 6 при х [3;4] на тій і другій ламаній - min.

3. Чи існують розв'язки з кутовими точками в задачі про екстремум

функціоналу J[у(х)] = (y'² + 2xy - у²)d х, у(х₀) = у₀, у(х₁) = у₁.

В. Не існує.

4. Знайти розв'язок з кутовою точкою в задачі про екстремум

функціоналу J[у(х)] = у²(1 - у' ²)dх, у(-1) = 0, у(1) = 1.

B.

5. Знайти розв'язок з кутовою точкою в задачі про мінімум функціоналу

J[у(х)] = (у' ⁴-2у'²)d х.

В. Екстремалі - прямі лінії. Якщо розв'язки < 1, то існують два розривних розв’язки - ламані лінії, паралельні бісектрисам координатних кутів.

6. В задачі про екстремум функціоналу J[у(х)] = знайти

неперервний розв'язок, а також розв'язок з кутовою точкою.

В. Пряма у = хtgφ, при 0 < tgφ<π; π< tgφ<2π; і т.д.

Ламана лінія, складена з відрізків прямих, тангенс кутів нахилу яких дорівнює (п Z ).

7. Знайти розв’язок з однією кутовою точкою в задачі при min функціоналі .

а) J[у(х)] =

B.y=-x при ; y=x-2 при 1< x ≤4 і y=x при 0≤ x ≤3 ; y=-x+6 при 3 < x ≤ 4. На тій і другій ламаній функціонал досягає абсолютного мінімуму .

б) Чи існують розв’язки з кутовими точками в задачі про екстремум функціоналу

J[у(х)] = , y(x₀)=y₀ , y(x₁)=y₁

B. не існує

в)Чи існують розв’язки з кутовими точками в задачі про екстремум функціоналу

J[у(х)] = ; y(0)=0; y(x₁)=y₁

В. Ламані , що проходять через задані граничні точки складаються з прямолінійних відрізків з кутовими коефіцієнтами і .

г) Знайти умову трансверсальності для функціоналу

J[у(х)] = ; A(x,y)≠0

B. тобто екстремалі провинні перетинати криву , по якій ковзає гарнична точка , під кутом .

д) Користуючись необхідною умовою екстремуму функціоналу (δJ=0), знайти функцію , на якій реалізується екстремум функціоналу

J[у(х)] = ; y(0)=y'(0)=0; y(1)= ; y'(1) не задано .

B.y=

е) Знайти криві , на яких може реалізуватися екстремум функціоналу

J[у(х)] = ; y(0)=0, y(10)=0 при умові , що допустимі криві не можуть проходити всередині круга , обмеженого колом (x-5)²+y²=9

B. y= при ; y= при ;

y= при < x ≤ 10, тобто крива складається з відрізка прямої , що дотикається кола , дуги кола і знову відрізка дотичної до кола .

є) Знайти функцію , на якій може досягатися екстремум функціоналу

J[у(х)] = ; y(0)=0 ,

якщо друга межа ковзає по прямій x=

B.y=0

і) Знайти криву , на якій може досягатися екстремум функціоналу

J[у(х)] = ; y(0)=0,

якщо друга межа (x₁,y₁ ) переміщується по колу (x-9)²+y²=9.

B.Дуги кола y =