§4 Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Література: [1] – ст. 472-504; [2] – ст. 264-292; [3] – ст. 236-257.

Нехай – довільна множина точок векторного простору . Якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число , то кажуть, що на множині задана числова функція від змінних . Множина називається областю визначення, а множина – множина значень функції .

Зокрема, при маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність деяке число , то в області визначена функція двох змінних і коротко записують:

, або

Функції двох і більшого числа змінних часто використовуються в економічних дослідженнях: при прогнозуванні, вивченні попиту та пропозиції, аналіз виробничої діяльності підприємства тощо.

Частинним приростом функції по змінній називається вираз:

Зокрема при частинні прирости функції по змінних і називаються:

Якщо обом змінним надати прирости , то функція дістане повний приріст функції , тобто

Для функції багатьох змінних повний приріст функції:

Якщо існують скінченні границі:

;

;

,

то їх називають частинними похідними по змінних і позначають одним із символів , аналогічно . Обчислення частинних похідних виконується за тими ж правилами, що і обчислення похідних функції однієї змінної, при цьому при обчисленні вважати всі змінні крім сталими.

Частинні похідні першого порядку можна розглядати, як функції змінних і . Частинними похідними другого порядку функції називають їх частинні похідні від частинних похідних першого порядку. Наприклад, похідних 2-го порядку – чотири, і їх записують так:

Теорема про рівність мішаних похідних.

Якщо в деякому околі точки функція має неперервні мішані похідні другого порядку, то вони рівні:

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції

Розв’язання.

Вважаючи сталим, дістанемо:

.

Вважаючи сталим, дістанемо:

Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції .

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні першого порядку:

;

Диференціюємо повторно, дістанемо:

,

або

Тобто, .

Приклад 3. (Задача 3.1) Перевірити, що функція задовольняє умові Знайти частинні похідні.

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні:

Отже,

Таким чином доведено, що функція задовольняє умові

Знайдемо частинні похідні другого порядку:

;

;

.

Похідна за напрямом. Нехай функція визначена в деякому околі точки – вектор з початком в точці , – точка околу, що лежить на векторі , – приріст аргументу на промені . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом вектора у точці , тобто:

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом вектора .

Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за напрямом вектора , причому,

, де

; ; . (4.1)

Градієнтом функції називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці :

, (4.2)

Градієнт функції в точці характеризує напрямок та величину максимального зростання функції в точці .

Приклад (Задача 3.2). Для функції знайти градієнт в точці і похідну в точці за напрямом вектора , де .

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні функції в точці :

,

,

.

За формулою дістанемо:

.

Знайдемо похідну функції в точці за напрямом вектора .

Знайдемо координати вектора та його напрямні косинуси:

, отже ;

; ; .

За формулою дістанемо:

.

Екстремум функції двох змінних.

Функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо існує окіл точки , в якому при виконується нерівність (відповідно , для всіх точок , що належать даному околу).

Точка називається точкою локального екстремуму функції .

Необхідна умова екстремуму. Якщо диференційована функція досягла екстремуму в точці , то в цій точці:

, (4.3)

або в цій точці частинні похідні не існують.

Точки, в яких виконуються ці умови називаються стаціонарним.

Достатні умови екстремуму. Нехай у стаціонарній точці , та в деякому околі цієї точки функція має неперервні частинні похідні другого порядку:

; ; . (4.4)

Тоді:

1) має в точці максимум, якщо та ; (4.5)

2) має в точці мінімум, якщо та ; (4.6)

3) не має екстремуму, якщо ; (4.7)

4) Якщо , тоді екстремум в точці може існувати, а може і не існувати, тобто в цьому випадку потрібні додаткові дослідження.

Приклад 4. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні: ; .

Використаємо необхідну умову існування екстремуму:

звідки .

Точка − стаціонарна (в цій точці виконується необхідна умова).

Знайдемо значення других похідних у точці :

; ; ,

тоді , , , отже . Оскільки і (за (4.6)), то в точці функція має мінімум .

Зауваження. З необхідними та достатніми умовами екстремуму функції багатьох змінних можна познайомитися у вказаній на початку параграфа літературі.

Приклад 5. (Задача 3.3). Нехай фірма випускає два види товарів. Позначимо їх обсяги через і . Нехай ціни на ці товари відповідно , ум. од., а функція витрат . Знайти максимальний прибуток, який може одержати фірма.

Розв’язання.

Функція прибутку фірми: . Для цієї функції потрібно знайти екстремум. Знайдемо стаціонарні точки:

, отже стаціонарна точка .

Перевіримо достатні умови локального екстремуму.

; ;

Тоді , так як , то точка − точка локального максимуму. Максимальний прибуток фірми: ум. од. Таким чином максимальний прибуток фірма отримає при даному спектрі цін, що склалися на ринку, якщо буде випускати одиниці виду і одиниці виду товарів.