6.2 Диференціальні рівняння іі порядку Лінійні диференціальні рівняння іі порядку з сталими коефіцієнтами

Рівняння виду дійсні числа, причому називається лінійним диференціальним рівнянням порядку зі сталими коефіцієнтами. Якщо , то рівняння , називається однорідним, а якщо – неоднорідним.

Квадратне рівняння називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння . Нехай – дискримінант квадратного рівняння. Можливі наступні випадки:

1. – тоді загальним розв’язком рівняння являється функція ( – корені характеристичного рівняння);

2. – загальним розв’язком являється функція ( – корінь характеристичного рівняння);

3. , тоді якщо – корені характеристичного рівняння, то загальним розв’язком рівняння являється функція

Зразки розв’язування задач

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь:

а) .

Розв’язання.

Складаємо і розв’язуємо характеристичне рівняння: корені дійсні і різні, отже загальний розв’язок даного рівняння: .

б) .

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має рівні корені , тому загальний розв’язок запишемо у вигляді .

в) .

Розв’язання.

Характеристичне рівняння: , тому , отже . Корені комплексні. Загальний розв’язок: .

Теорема. Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння має вигляд , де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , а – деякий частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.

1. Нехай права частина рівняння многочлен степеня, тобто , тоді:

а) Якщо не являється коренем характеристичного рівняння, тоді частинний розв’язок матиме вигляд:

,

зокрема:

і т.д.

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння, тоді частинний розв’язок матиме вигляд: .

2. , тоді:

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, частинний розв’язок матиме вигляд: .

б) Якщо – являється - кратним коренем характеристичного рівняння, тоді: .

3. .

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, тоді: , де .

б) Якщо – являється коренем характеристичного рівняння , тоді: .

4.

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, тоді: , де .

б) Якщо – являється коренем характеристичного рівняння , тоді: .

Зауваження. Ми розглядаємо лише диференціальні рівняння порядку. З диференціальними рівняннями вищих порядків можна самостійно познайомитись з вказаної літератури.

Приклад 5. (Задача 4.2). Знайти розв’язок задачі Коші.

1. 

Розв’язання.

Знайдемо спочатку загальний розв’язок рівняння: , який має вигляд .

а) – це загальний розв’язок відповідного даному однорідного рівняння: . Запишемо його характеристичне рівняння: отже

.

б) – частинний розв’язок даного рівняння будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

(випадок 2(б))

Отже,

Так як розв’язок рівняння, то підставивши його в рівняння одержимо рівність: .

.

Отже, загальний розв’язок даного рівняння: .

Використавши задані початкові умови знайдемо частинний розв’язок рівняння (задачі Коші). Для цього знайдемо

Підставимо початкові умови в і одержимо:

,

Таким чином, .

2. .

Загальний розв’язок даного рівняння , отже:

а) – це загальний розв’язок відповідного даному однорідного рівняння: . Знайдемо корені відповідного йому характеристичного рівняння . Отже, .

б) : Так як права частина – многочлен степеня, причому не є коренем характеристичного рівняння, то його частинний розв’язок будемо шукати у вигляді: (випадок 1(а)):

,

.

Підставимо в дане рівняння:

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях:

	,
	, ,

Таким чином

Запишемо загальний розв'язок даного неоднорідного рівняння:

.

Знайдемо розв’язок задачі Коші.

Так як , то .

Знайдемо .

отже .

Із системи рівнянь: знайдемо .

Таким чином, запишемо відповідь:

.