Метод измерения и описание аппаратуры

Для измерения момента инерции в данной лабораторной работе используются крутильные колебания изображенного на рисунке устройства, состоящего из диска 1 и лежащих на нем одного или нескольких тел 2. В работе используется эталонное тело (ЭТ) с известным моментом инерции. Диск расположен на станине 3, имеющей винты 4 для корректировки горизонтального положения плоскости диска. Пружина 5 служит для возвращения диска в положение равновесия и создания колебательного движения относительно вертикальной оси (рис. 1).

При отклонении диска на некоторый угол  (в пределах упругой деформации пружины) со стороны пружины на диск действует возвращающая сила, проекция момента которой пропорциональна углу отклонения:

М   b, (6)

где b – упругая постоянная пружины.

Если пренебречь влиянием силы трения, то уравнение движения диска на основании формул (5) и (6) примет вид

I   b_, (7)

г де I – момент инерции диска с лежащими на нем грузами.

Решение этого уравнения имеет вид

  ₀ cos(t  ),

то есть угол отклонения диска от положения равновесия изменяется по гармоническому закону и вся система совершает гармонические колебания с амплитудой ₀ и круговой частотой . Величину (t  ) называют фазой колебания,  – начальной фазой, определяющей угол отклонения  при t  0.

Найдя первую и вторую производные угла  по времени t и подставив их в уравнение (7), получим

 I²₀cos(t  )   b₀cos(t ) ,

откуда найдем

  ,

а затем формулу для периода колебаний T:

Т  2 .

Если колеблется только диск, то его период колебаний

Т₀  2 , (8)

где I_Д – момент инерции диска без грузов.

Если на диске лежит эталонное тело, то период колебаний системы T_ЭТ, в этом случае можно записать аналогично:

T_ЭТ  2 . (9)

Используя выражения (8) и (9), получим:

I_Д  I_ЭТ и b  ,

Если диск колеблется вместе с телом, момент инерции которого I_Х требуется определить, то период его колебаний

T_Х  2 ,

откуда

I_Х   I_Д.

Используя полученные выражения для b и I_Д, получим окончательную формулу для определения момента инерции исследуемого тела:

I_Х  I_ЭТ .

Порядок выполнения работы

1. Отклонив диск без грузов на некоторый угол (  90) определите время t нескольких полных колебаний (n  5  6). Рассчитайте период колебаний диска Т₀. Повторите измерения.

2. Поместите на середину диска эталонное тело, измерьте время нескольких полных колебаний. Рассчитайте период колебаний системы с эталонным телом Т_ЭТ. Повторите измерения.

Полученные данные занесите в табл. 1 и вычислите средние значения Т₀ и T_ЭТ.

Таблица 1

№ опыта	Число колебаний, n	Колебания диска без грузов		Колебания диска с эталонным телом
		t, c	T0, c	t, c	TЭТ, c
1
2
3
Средняя величина	----------	----------		----------

Таблица 2

№ тела	Число колебаний n	t, c	TХ, c	IХ, кгм2
1
2

3. Вместо эталонного тела поместите на середину диска одно из исследуемых тел, приведите систему в колебательное движение, измерьте время нескольких колебаний и определите период колебаний Т_Х. Вычислите момент инерции исследуемого тела I_Х. Повторите измерения; результаты занесите в табл. 2.

4. Рассчитайте средние значения моментов инерции обоих тел. Запишите результаты в табл. 3.

Таблица 3

№ тела	Форма тела	Масса тела m, кг	Радиус тела R, м	IХ , кгм2 по формуле (1)	IХ СР, кгм2 из табл.2
1
2

5. Вычислите моменты инерции обоих тел по их массам и радиусам, используя формулу (1) и учитывая форму тел. Запишите результаты в табл. 3.

6. Поместите на середину диска оба тела, положив их одно на другое. Приведите систему в колебательное движение и определите время t нескольких колебаний. Определите период колебаний и момент инерции системы из двух тел. Вычислите момент инерции системы из двух тел как сумму моментов инерции отдельных тел I_{Х СР}, взятых из табл. 3. Результаты запишите в табл. 4.

Таблица 4

№ опыта	n	t, c	T, c	Момент инерции двух тел по формуле (10) IХ кгм2
1
2
3
Среднее значение	--------	---------
Момент инерции двух тел: IХ  IХ1 СР  IХ2 СР

7. Поместите одно из исследуемых тел на некотором расстоянии от центра диска. Приведите систему в колебательное движение, измерьте время нескольких колебаний. Вычислите момент инерции тела по формуле (10). Измерения повторите. Найдите среднее значение момента инерции. Измерьте расстояние а от центра инерции тела до оси вращения. Рассчитайте момент инерции тела по теореме Штейнера, воспользовавшись значением момента инерции тела I_{Х СР} из табл. 3. Результаты занесите в табл. 5.

Таблица 5

№ опыта	n	t, c	T, c	Момент инерции по формуле (10), IХ кгм2
1
2
3
Среднее значение
Момент инерции по формуле (2): I  ……………., кгм2

8. Определите случайные ошибки T_Д ; T_ЭТ, Т_Х1, Т_Х2 измерений периодов T₀, T_ЭТ, Т_Х1, Т_Х2.

Так, в частности, Т₀  _СТS, где _СТ – коэффициент Стьюдента, а S – поправка Стьюдента, определяемая по формуле:

S  ,

где N – число измерений.

Значение коэффициента Стьюдента для указанной преподавателем доверительной вероятности следует найти по табл. 1 из методических указаний [3]. Аналогичным образом рассчитываются T_ЭТ, Т_Х1, Т_Х2.

9. Вычислите относительную погрешность  измерения момента инерции тела № 1 и тела № 2 по формуле:

    2 , (11)

где m - погрешность измерения массы тела; R – погрешность измерения радиуса тела, которая определяется масштабом линейки, используемой для измерения радиуса тела.