3.3. Синтез оптимального алгоритма управления

1. Определение оптимального алгоритма управления

Нахождение оптимальных по быстродействию алгоритмов управления различными объектами наиболее целесообразно осуществлять с применением принципа максимума.

Рассмотрим общий путь решения задачи при определении таких алгоритмов на примере системы, схема С – части которой показана на рис. 3.2.

Примем, что каждое звено представленной схемы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами, т.е.

(3.1)

На управляющее воздействие накладывается ограничение

.

Критерий оптимальности имеет вид:

. (3.2)

Требуется найти такое управление , при котором время перехода управляемого объекта из состояния в состояние было минимальным.

8

Составим вспомогательную функцию

(4.18)

где x₁ и y₁ значения x и y, получаемые из (4.17) в момент t=t₁.

C учетом (4.18), изменяя t от 0 до t=t₂ - t₁, получим значения x и y для второго участка.

Вид линии переключения и фазовой траектории, соответствующий равенствам (4.17) и (4.18), приведен на рис. 4.2 , на котором

(4.19)

Траектория ОВС – линия переключения, характеризующая первый интервал управляющего воздействия, траектория BD соответствует второму интервалу. Точка В соответствует моменту переключения t₁ управляющего воздействия, а точка D – моменту отключения t₂.

2. Построение структурной схемы замкнутой системы, оптимальной по быстродействию. Построение оптимального автомата

Уравнение (4.11) представляет собой уравнение управляющего устройства, обеспечивающего оптимальное быстродействие замкнутой системы. Для получения структурной схемы с таким управляющим устройством необходимо обеспечить реализацию функции переключения. Как следует из (4.11), с этой целью необходимо, чтобы в системе были предусмотрены

25

.

Приведем уравнение С-части к двум уравнениям

(4.12)

, (4.13)

где а₁а₂ = Т₂²; (а₁ +а₂ )= Т₁; k₁k₂ = k₀; k₁=2, k₂= k₀ /2.

Запишем решение уравнения (4.12), приняв, что при t=0 x= x₀

. (4.14)

Подставим (4.14) в (4.13), получим

,

или

,

откуда получим

. (4.15)

После определения постоянной интегрирования С₂ из условия, что в момент t₀=0 y=y₀ , перепишем (4.15)

. (4.16)

Используем (4.14) и (4.16) для построения линии переключения и фазовой траектории, для которой на интервале 0 t t₁ (при x₀=y₀=0) указанные уравнения примут вид:

. (4.17)

24

Для интервала от t₁ до t₂ получаем

(3.3)

В соответствии с принципом максимума управление будет оптимальным, если функция Н приобретает максимальное значение. Для определения такого управления необходимо определить частную производную функции Н по u и приравнять нулю, т.е.

(3.4)

Для выполнения равенства (3.4) при k₁0 и Т₁0 необходимо, чтобы ₁=0. Это противоречит теореме Л. С. Понтрягина. Поэтому, чтобы функция Н имела максимум, необходимо управляющее воздействие брать на границах допустимого значения, т.е. чтобы при ₁>0 и при ₁<0 .

Отсюда оптимальный алгоритм управления в рассматриваемой задаче приобретает вид:

. (3.5)

Для определения функции ₁ составим систему уравнений:

. (3.6)

Решая систему уравнений (3.6) относительно ₁ , получим:

(3.7)

где С₁ - С_n – постоянные коэффициенты.

Подставляя (3.7) в (3.5), получим оптимальный алгоритм управления:

9

. (3.8)

Аналогично можно получить оптимальные алгоритмы управления для других видов соединений звеньев или их комбинаций.