3 Найти , , , числового множества:
№ |
X |
№ |
X |
3.1 |
|
3.11 |
|
3.2 |
|
3.12 |
|
3.3 |
|
3.13 |
|
3.4 |
|
3.14 |
|
3.5 |
|
3.15 |
|
3.6 |
|
3.16 |
|
3.7 |
|
3.17 |
|
3.8 |
|
3.18 |
|
3.9 |
|
3.19 |
|
3.10 |
|
3.20 |
|
4 Пусть . Найти:
4.1 |
|
4.8 |
|
4.15 |
|
4.2 |
|
4.9 |
|
4.16 |
|
4.3 |
|
4.10 |
|
4.17 |
|
4.4 |
|
4.11 |
|
4.18 |
|
4.5 |
|
4.12 |
|
4.19 |
|
4.6 |
|
4.13 |
|
4.20 |
|
4.7 |
|
4.14 |
|
4.21 |
|
5
С помощью метода математической индукции
доказать истинность утверждений при
:
5.1
кратно 6.
5.2
.
5.3
кратно 6.
5.4
.
5.5
кратно 24.
5.6
.
5.7
кратно 6.
5.8
.
5.9
кратно 7.
5.10
.
5.11
кратно 4.
5.12
.
5.13
.
5.14
.
5.15
кратно 9.
5.16
.
5.17
кратно 18.
5.18
.
5.19
.
5.20
.
6 С помощью метода математической индукции доказать неравенство при :
6.1
.
6.2
.
6.3
.
6.4
.
6.5
.
6.6
.
6.7
,
.
6.8
,
.
6.9
.
6.10
.
6.11
,
.
6.12
.
6.13
,
.
6.14
,
.
6.15
,
.
6.16
,
и
.
6.17
,
.
6.18
,
.
6.19
,
.
6.20
.
7 Построив соответствующее сечение, доказать равенство:
7.1 |
|
7.7 |
|
7.13 |
|
7.2 |
|
7.8 |
|
7.14 |
|
7.3 |
|
7.9 |
|
7.15 |
|
7.4 |
|
7.10 |
|
7.16 |
|
7.5 |
|
7.11 |
|
7.17 |
|
7.6 |
|
7.12 |
|
7.18 |
|
Решение типовых примеров
1.20
Уравнение
имеет единственное решение.
Решение.
Число
удовлетворяет уравнению
.
В самом деле:
.
Других решений нет. Действительно, если
и является решением уравнения
,
то
,
,
,
,
.
2.20 Доказать, что – иррациональное число.
Решение.
Доказываем
методом от противного. Допустим, что
существует такое рациональное число
(несократимая дробь), квадрат которого
равен 2. Тогда
или
.
Следовательно, число
есть четное число. Отсюда
есть четное число, и, следовательно,
представимо в виде
.
Тогда имеем
.
Значит,
есть четное число, тогда и
– четное. Таким образом, числа
и
являются четными. Поэтому дробь
сократима, что противоречит предположению.
Допущение не верно, т.е. не существует
рационального числа, квадрат которого
равен 2, а, значит,
– иррациональное число,
.
3.20
Найти
,
,
,
числового множества
Решение.
Шаг 1. Покажем,
что
,
то есть, 1)
,
(0 – нижняя граница
);
2)
такой, что
(0 – наибольшая из нижних границ).
Утверждение 1) очевидно.
Докажем утверждение
2). Представим
в виде десятичной дроби
.
Если
,
то неравенство
очевидно, так как множество
состоит из правильных дробей. Если
,
то
такой, что
,
и поэтому
– искомое, то есть,
.
Шаг 2. Покажем,
что
не существует. По определению, наименьшим
элементом множества
называется такое число
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Заметим, что
,
так как
,
–
не натуральное число, и поэтому множество
не имеет наименьшего элемента.
Шаг 3.
Покажем, что
,
то есть 1)
,
(1 – верхняя граница
);
2)
такой, что
(1 – наименьшая из верхних границ).
Утверждение 1) очевидно, так как
содержит только правильные дроби.
Докажем утверждение
2). Представим
в виде десятичной дроби
.
Тогда
такой, что
,
и поэтому
– искомое, то есть,
.
Шаг 4. . Покажем,
что
не существует. По определению, наибольшим
элементом множества
называется такое число
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Заметим, что
,
так как
при
,
что противоречит определению правильной
дроби. Поэтому множество
не имеет наибольшего элемента.
4.20 Пусть . Найти .
Решение.
Заметим, что
если
и
,
то
,
.
Для всех
выполняется
.
Следовательно,
,
а значит,
Для всех
выполняется
.
Следовательно,
,
а значит,
.
5.20 Методом математической индукции докажите, что для любого справедливо равенство
.
Решение.
Шаг 1.
При
равенство очевидно.
Шаг 2.
Предположим, что равенство верно для
натурального числа
:
.
Шаг 3.
Проверим верность утверждения для
натурального числа
:
.
Из истинности
утверждения при
вытекает его истинность при
.
Согласно методу математической индукции,
утверждение верно для любого
.
6.20 С помощью метода математической индукции доказать неравенство при .
Решение.
Шаг 1
При
неравенство верно, т.к.
.
Шаг 2.
Предположим, что неравенство верно для
,
то есть
.
Шаг 3.
Докажем, что неравенство верно для
:
.
Таким образом, из истинности утверждения при вытекает его истинность при . Согласно методу математической индукции, утверждение верно для любого .
7.20 Построив соответствующее сечение, доказать равенство
.
Решение.
Для удобства обозначим
.
Необходимо
доказать, что
.
Покажем, что совпадают верхние классы
сечений, определяющие числа
и
.
Сначала построим сечения, определяющие
действительные числа
.
Рассмотрим верхние классы этих сечений:
Теперь определим,
какой верхний класс определяет число
.
Пусть
производит сечение
.
Рассмотрим рациональные числа
удовлетворяющие неравенствам
и
,
где
,
,
.
По определению,
суммой
называется
число, которое
содержится в следующих рациональных
границах:
.
Из определения
суммы двух вещественных чисел следует,
что в верхний класс
сечения, определяющего число
,
входят
всевозможные суммы вида
:
.
Докажем совпадения
классов
и
.
Для этого вначале покажем, что
.
Пусть
,
тогда
,
,
и
,
,
.
Ясно, что
.
Докажем, что
.
Так как
,
то
и
.
Следовательно,
,
т. е.
,
.
Покажем, что
.
Пусть
,
,
т. е.
.
Положим
(
–рациональное число) и выберем
так, чтобы
,
и
.
Тогда
и
.
Так как
,
а
,
то
,
т.е.
,
а
,
следовательно,
,
т.е.
или
,
где
,
и верхний класс
содержится в классе
.
Так как
и
,
то классы
и
совпадают. Верхние классы
и
сечений совпадают, значит, совпадают и
нижние классы
и
и, следовательно,
.
Лабораторная работа № 5
Предел последовательности: определение, свойства
Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные последовательности, определение предела последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности, свойства сходящихся последовательностей.
Литература: [1] с. 81 – 87, [4] с. 87 – 111.