Линейные однородные системы

Линейные однородные системы решаются четырьмя методами.

1)Сведения линейных однородных систем к одному или нескольким дифференциальным уравнениям первого порядка

Достоинство:

Простота окончательного решения.

Недостаток:

Долго

2)Разделение на подблоки заменой переменных.

Пусть x=SУ , где S – матрица detS , У-новый вектор =>

=S => S

новая система

новая матрица

Какой бы ни была матрица А линейной однородной системы всегда можно подобрать такую матрицу S что матрица новой системы будет иметь блочную структуру.

Жорданова Жордановы

форма клетки

Жордановы клетки:

1)

2) – кратные вещественные

3) комплексные не кратные

4) кратная комплексная

После преобразования матрицы к Жордановой форме система распадается на маленькие независимые подсистемы.

Каждая независимая подсистема может быть решена, например сведением к одному уравнению, окончательный ответ х=SУ.

Достоинство:

Простота окончательного решения.

Недостаток:

Долгий алгоритм нахождения матрицы перехода – матрицы S.

3)Решение через матричную экспоненту.

Матричная экспонента – называется матрица формально определяемая сходящимся матричным рядом:

Пусть дана линейная однородная система фундаментальной матричной системой (ФМС ЛОС) называется матрица столбцами, которой является n- линейно независимых решений системы, где n- размерность системы.

Ф(t)- (ФМС)=(

Определитель ФМС называется вронскианом системы:

detФ(t)=W(t)

Теорема:

1)Ф(t)- ФМС ЛОС=> - общее решение ЛОС

2) Если Ф₀(t)-нормированная ФМС , то - частное решение – решение задачи Коши.

3)Для любого ЛОС Ф(t)=

4)Для любого ЛОС Ф₀(t)= - нормированная ФМС

Достоинство:

Простота окончательных форм.

Недостаток:

Сложность при вычислении матричной экспоненты.

4)Решение ЛОС операторным методом:

Переход от вещественных функций к комплексным, при этом СДУ переходит в алгебраический.

Достоинство:

Простота.

Недостаток: Необходимо чтобы все решения начинались в один момент времени.

§23

Линейные неоднородные системы

; частное решение ЛНС

общее решение ЛОС

Методы решения:

1)Сведение к одному уравнению (громоздко)

2)Метод Лагранжа. – Если , то , где

Ф(t),

3)Решение ЛНС операторным методом (М5)

Замечание:

Для ЛОС так же ка и для ЛОДУ можно ввести характеристическое уравнение.

det(A- линейной системы.

- корень характеристического уравнения.

§24

Понятие об устойчивости.

Пусть дана некоторая функция частное решение задачи Коши при некоторых начальных условиях при -оно называется устойчивым, если любое другое решение, например, х(t) , начальные условия которого находятся в малой окрестности начальных условий - остаётся в малой окрестности для любого .

Решение – называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и придел х(t) при t =

Решение называется не устойчивым, если первые два определения не выполняются.

x

x₀ - устойчиво

t

t₀

x

x₀

- асимптотически устойчиво

t₀ t

x

x₀

- Неустойчивре

t_o t

при t не меняется=> устойчивое

А₀ А₁

при t => положение асимптотически устойчиво

А₁

А₀

А₀

при t неустойчиво

А₁

Исследование конкретного частного решения на устойчивость – сложная задача

Для упрощения производят замену переменных и вместо частного решения Ф(t) исследуют устойчивость тривиального решения некоего нового уравнения.

Аналогично выводится понятие для СДУ.

§25