Дифференциальные уравнения.

1.1Основные понятия.

Дифференциальным уравнением называется любое уравнение, в составе которого присутствует какие-либо производные или дифференциалы от неизвестных функций.

Порядок старшей производной или дифференциала называется порядком уравнения.

Если производные берутся только по одной переменной, то уравнение называется обыкновенным.

Если производные берутся по разным переменным, то уравнение называется уравнением частных производных.

Решение дифференциального уравнения называется любая функция, дифференцируемая нужное количество раз, которое обращает уравнение в тождество.

Пример:

- уравнение второго порядка.

y(x)=0 => 0-0

y=e^x - e^x – верно => решение

y(x) e^x+2 e^-х (e^x+2 e^-х)^’’ – (e^x+2 e^-х)

Полученный пример показывает, что даже у простого дифференциального уравнения решение неединственное.

Замечание:

Уравнение в частных производных гораздо сложнее обыкновенных уравнений и рассматриваются в специальном разделе математики – математической физике.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Можно записывать в трёх основных формах:

Общая форма:

(x,y, )=0

Разрешённая форма:

=f(x,y) правая часть уравнения

Дифференциальная форма:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Разрешённая и дифференциальная формы, вообще говоря, взаимно заменяемые, а из общей формы не всегда удаётся сделать две остальные.

)²+yx-x =0 – общая форма

– разрешённая форма

sin(xy)dx+x²dy=0- дифференциальная форма

= - разрешённая форма

Определение:

Общим решение дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида:

y = (x,c) или Ф(х,y,c) или

Функция вида в составе, которой обязательно присутствует постоянная «с», обладающая двумя свойствами.

1)При любом допустимом значении «с» функция обращает уравнение в тожество.

2)Какая бы не была точка М₀(x₀;y₀) из некоторой области D xoy найдётся такое значение «с» что график функции при данном «с» пройдёт через точку М₀.

Замечание:

Область D из которой взята точка М₀ нужно обговаривать заранее.

Определение:

Конкретная функция получается из общего решения при конкретном значении «с» называется частным решением дифференциального уравнения.

Задача Коши:

Найти частное решение дифференциального уравнения, которое проходит через конкретную выбранную точку.

Проблемы задачи Коши.

1)Проблема существования.

2)Проблема единственности.

3)Проблема поиска

Проблема существования и единственности решает теорема Коши.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка в разрешенной форме. Пусть в некоторой области D плоскости xoy правая часть уравнения непрерывна вместе со своей производной по y.

Тогда через каждую точку такой области проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Замечание:

Если убрать непрерывность производной то существование остаётся, а единственность может быть нарушена.

Определение:

График частного решения называется интегральной кривой уравнения.

f(x;y)

1)Непрерывна в xoy

2) =x - Непрерывна в xoy

Через любую точка М₀(x₀;y₀) плоскости xoy пройдёт ровно один интегральная кривая

f(x;y)

1)Непрерывна в xoy

2) = рвётся на оси ох => в точках оси ох может нарушиться единственность, т.е. через каждую точку оси ох может пройти больше одной интегральной кривой.

В большинстве случаев аналитически решить дифференциальное уравнение практически невозможно- не найти ни общего, ни частного решения.

В практических задачах дифференциальное уравнение решается приближёнными методами, то есть интегральные кривые находятся, приближённо их заменяют кусочками гладких функций или ищут решения в виде ряда.

При приближенных решениях дифференциальных уравнений очень важным является строгое выполнение условий теоремы Коши.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка- особым решением уравнения называется функция, обладающая двумя свойствами:

1)Она обращает уравнение в тождество.

2)Через каждую точку её интегральной кривой проходит, по крайней мере, ещё одно решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение, интегрируемое в квадратурах.

Дифференциальное уравнение, интегрируемое в квадратурах, такое уравнение, для которого общее решение может быть найдено в конечном виде.

1)Уравнение с разделяющей переменной.

f₁(x) f₂(y) или к такому виду можно привести

Решается разделением переменных

f₁(x) f₂(y) => =

Замечание:

При разделении переменных может сузить область определения.

Функции, выпавшие из области определения, могут оказаться особым решением.

=> =

ln|y|= +c – неявная зависимость между x и y

Замечание:

Если при интегрировании получаются логарифмы то постоянную «с» удобно заносить под знак логарифма.

ln|y|= + ln|с|

ln| |= =>

= ; y= *c - общее решение.

Могла быть потеряна функция y 0

Решение ли оно: =x²*0 => верно, входит в общее решение при y=0 (с=0) => не особое.

Ответ: = y

Иногда к уравнению с разделяющимися переменными можно привести другое уравнение путём какой-нибудь замены.

Пример:

=sin(x-y)

Пусть замена имеет вид:

z=x-y => y=x-z; =1- =>

1- =sinz=> =1- sinz

=1- sinz=> = и.т.д

2) , y(1)=3 – Это задача Коши Найти интегральную кривую , проходящую через точку М₀(1;3)

Проверим теорему Коши

f ( =xy непрерывна на xoy в том числе в U М₀=> через точку М₀ пройдёт ровно одна интегральная кривая. y

3 M₀

1 x

=xy => = =>

ln|y|- ln|с|= =>

ln| |=

y=c

Подставим точку М₀

3=

=> Ответ: y= ( частное решение с решение задачи Коши.

2)Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

= или к такому виду можно привести

сводится к разделению переменных путём замены

z= , y=zx

=

x =y+ | : x

+

- типичное однородное уравнение

Заменим :

= + => => * \

= => = => 2 = ln|xс|

xc= – в неявной форме (общий интеграл)

3)Уравнение со сдвигом системы координат.

=

Прямые: =0

=0

Пересекаются:

Приводится к однородному, путём переноса начала координат в точку пересечения этих прямых.

y y₁

0₁ x₁

=0

0 =0

x

y y₁

M(x;y)=M(x₁;y₁)

0₁ x₁

0 x

x=x₀₁+x₁

y=y₀₁+y₁

начало в старой системе

Пример:

(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0

= =

Прямые:

=0

=0 пересекаются

= -3 0 , тогда

=0 y=2x+1 y₀₁=

=0 x-2(2x+1)+1=0 x₀₁=

0₁( ; ) – новое начало

Сдвиг:

x= , y=

Соответственно

= => =

= - это однородное уравнение

; , = =>

= – это уже разделённые переменные

= = => =

4)Линейное уравнение первого рода.

+ P(x)y=Q(x)

или

+P(y)x= Q(y)

Пусть дано уравнение:

+ P(x)y=Q(x)

Два способа решения:

I Метод Бернулли.

y=UV

a)

уравнение с разделением переменных =>находим V без «с»

б) => находим U c «с»

Ответ: y=U(x,c)V(x)

II Метод Лагранжа.

а) + P(x)y=0 без правой части =>находим решение в виде y=c

б)Полагают, что решение исходного уравнения имеет вид y=c => подставляют в исходное уравнение и находят с(х)

1)

=y ctgx+sinx

=sinx

Решим методом Бернулли.

y=UV

a) =>

=

ln|V|=ln|sinx|

V= sinx

б) => U=x+c

Ответ: y=UV=> y=( x+c)sinx –общее решение Линейного Однородного Уравнения.

2)

а)

– линейное относительно х

- решим методом Лагранжа.

-

=>

ln|x|=2ln|y|+ln|c| =>x=cy²

б)

Пусть x=c(y)y²

Подставим в дифференциальное уравнение.

(c(y)y²)²-

x=(-y^-3+c₁)y² – общее решение

5)Уравнение Бернулли.

+ P(x)y=Q(x)

или

+P(y)x= Q(y)

Алгоритм решения полностью совпадает с линейным уравнением.

Пример:

Пусть y=UV

a)

V=x

б)

=>

=>

=> U=

y= |^2

– общее интегральное уравнение Бернулли.

6)Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение в виде: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 – уравнение в полных дифференциалах

Если его правая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных.

Теорема:

Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно чтобы Py=Qx в некоторой области непрерывности P и Q и их производных.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

U(x,y)=с где U- функция восстановленная по полному дифференциалу.

Восстановление функции по её полному дифференциалу производится криволинейным интегрированием.

, =(P,Q) , M₀- некоторая произвольная начальная точка , М- некоторая текущая произвольная точка.

Линия интегрирования – произвольная кривая, лежащая в области непрерывности P и Q и их производных.

Замечание:

В качестве кривой удобнее всего брать ломанную со звеньями параллельными координатным осям.

П ример: D

М(x;y)

P = , Q=

= , =

U = => U= = + М₀(1;0) А(х;0)

M₀A: =(0;ln) ;

=0+0=0

AM: a=(( ,(

( y

= =( =

0 U

– общее решение.

Замечание:

Если взять произвольное уравнение в дифференциальной форме P₁(x;y)dx+ Q₁(x;y)dy=0,то оно вовсе необязательно является уравнение в полных дифференциалах.

Однако, всегда существует такая функция М(х;у), что уравнение М(х;у) P₁(x;y)dx+ М(х;у) Q₁(x;y)dy=0 умноженное на эту функцию будет являться уравнение в полных дифференциалах- такая функция называется интегрирующим множителем.

Общей методики нахождения интегрирующего множителя не существует.

§ 14