Лекция 9.2. Математические модели в горно-геологических задачах

9.2.1. Общий подход к составлению математической модели

Использование методов высшей математики в решении прикладных задач химии, физики, биологии и других наук позволяет получить результаты, достижение которых иными способами часто оказывается трудным или невозможным.

Для того, чтобы построить математическую модель реального процесса, представленного в виде прикладной задачи, необходимо уметь грамотно выполнять математический анализ этой задачи, который состоит из трех этапов:

1) перевод условий задачи на язык математики;

2) решение полученной математической задачи;

3) оценка и интерпретация результатов.

9.2.2. Решение одной технической задачи

В пункте 1.4.5. лекции 1.4. раздела 1. было рассмотрено решение системы линейных уравнений, полученных в результате построения математической модели следующей задачи.

Задача. На потолок выработки давит своим весом объем породы, поперечное сечение которого ограничено параболой с высотой . Определить силы, сжимающие стойки так называемого оклада, при помощи которой производится крепление выработки, если ширина выработки в верхней части , расстояние между окладами вдоль выработки равно , плотность пород и стойки наклонены под углом к горизонту.

В настоящем разделе мы более подробно остановимся на принципах построения математической модели этой задачи.

Решение. Изобразим все интересующие нас силы на чертеже в разрезе (рис. 9.2.1).

Ox

Oy

Рис. 9.2.1

Здесь – вес объема породы, расположенного над потолочной балкой; – силы давления, действующие на опоры.

Так как система находится в равновесии,

.

Запишем это уравнение в координатной форме. Для этого воспользуемся формулой (1.6.4) проекции вектора на ось из пункта 1.6.1 лекции 1.6 раздела 1.

Проектируем силы на ось :

, , .

Таким образом, получаем уравнение

(9.2.1.)

Рассмотрим силы на ось :

, , .

Получаем уравнение

. (9.2.2)

Объединяем уравнения (9.2.1) и (9.2.2) в систему линейных уравнений

.

И решаем ее любым из методов, предложенных в лекции 1.4. раздела 1. Решение данной системы методом Крамера представлено в пункте 1.4.5. лекции 1.4. раздела 1., поэтому здесь мы приведем лишь результат:

.

Осталось найти величину . Из физики известно, что , где – масса указанного объема породы, а – ускорение свободного падения. В свою очередь, , где – объем породы, а – ее плотность.

Составим уравнение параболы, ограничивающей в поперечном сечении наш объем породы. Каноническое уравнение параболы было представлено в пункте 1.10.5. лекции 10. раздела 1. Из чертежа (рис. 9.2.1) видно, что ее вершина находится в точке , ось параллельна оси , а «ветви» направлены «вверх» (в смысле направления оси) и проходят через точки и . Такая парабола задается уравнением

. (9.2.3)

Это уравнение получается из канонического уравнения , если вместо и подставить координаты точки и выразить параметр .

Интересующий нас объем породы – объем параболоида, полученного вращением вокруг оси параболы (9.2.3) и ограниченного плоскостью . Его можно найти различными способами: с помощью определенного, двойного или тройного интеграла, подробно этот вопрос рассматривается в пункте 3.11.3. лекции 3.11. раздела 3. Вычислим это объем при помощи определенного интеграла. Перепишем уравнение (9.2.3) в виде и подставим значение в формулу

Получим .

Итого, .

Задача решена.

Подведем итоги. Мы построили математическую модель несложной прикладной задачи из горного дела. В результате мы получили очень простую систему, состоящую из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить исключительно средствами, рассмотренными в главе 1, то есть методами линейной алгебры. Но для составления этой системы нам пришлось воспользоваться обширнейшим инструментарием, представленным в первых трех разделах настоящего конспекта лекций.