5 Контрольні питання

Під час підготовки до лабораторної роботи необхідно вивчити:

• теоретичний матеріал із теми “Коливальні процеси” за конспектом лекцій та підручниками [2, 4, 6];

• матеріал, що поданий вище, до цієї лабораторної роботи.

Для перевірки теоретичної підготовки до лабораторної роботи дати відповіді на такі питання:

1. Гармонічні коливання та їх характеристики. Диференціальне рівняння гармонічних коливань (доведення). Зміна енергії при гармонічному коливанні (доведення).

2. Періоди коливань фізичного, математичного та пружинного маятників (доведення).

3. Електричний коливальний контур. Частота коливань (доведення).

4. Метод векторних діаграм. Додавання двох гармонічних коливань одного напрямку й частоти (доведення).

5. Биття (доведення).

6. Додавання взаємно перпендикулярних коливань (доведення). Фігури Ліссажу.

7. Диференціальне рівняння згасальних коливань (доведення).

8. Розв’язання диференціального рівняння згасальних коливань (доведення). Коефіцієнт згасання, декремент згасання, логарифмічний декремент згасання, добротність.

9. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його розв’язання (доведення).

10. Резонанс. Резонансна частота (доведення).

11. Закон Ома для змінних струмів (доведення). Імпеданс. Ємнісний та індуктивний опори (доведення).

12. Довести співвідношення (5.11).

13. Довести співвідношення (5.12)-(5.14).

14. Довести співвідношення (5.23)-(5.27).

15. Зобразити схему експериментальної установки та пояснити принцип її роботи.

Лабораторна робота т5-13

Визначення довжини та частоти електромагнітної хвилі за допомогою двопровідної лінії (системи Лехера)

1 Мета роботи

1.1 Експериментально вивчити стоячу електромагнітну хвилю у двопровідній лінії.

1.2 Визначити довжину стоячої та біжучої хвилі, частоти генератора УКХ.

Номер розділу 6

2 Прилади і матеріали

2.1 Двопровідна лінія.

2.2 Генератор УКХ.

2.3 Пересувний місток з індикатором.

2.4 Вольтметр.

3 Опис експериментальної установки та методу дослідження

Експериментальна установка

Експериментальна установка (див. рис. 6.1) складається з двох однакових паралельних проводів 3, в яких за допомогою генератора ультракоротких хвиль (УКХ) 1 можуть збуджуватися змінні електричні струми високої частоти. Такі два проводи називаються системою Лехера. Зв’язок проводів 3 з генератором УКХ 1 є індуктивним 2 (рис. 6.1). Вимір напруженості вихрового електричного поля в різних точках двопровідної лінії 3 проводимо за допомогою індикатора 4, який розміщено на пересувному містку.

Для експериментального дослідження стоячої хвилі в системі Лехера використаємо індикатор 4, який розміщено на пересувному містку (див. рис. 6.1). Основною компонентою індикатора є гальванометр, до клем якого під’єднано напівпровідниковий діод. Діод та гальванометр утворюють замкнене коло, яке пронизує змінне у часі магнітне поле. Завдяки явищу електромагнітної індукції в цьому колі виникає змінний електричний струм. Діод дозволяє струму в замкненому колі проходити лише в одному напрямку, силу якого вимірює амперметр (гальванометр). Таким чином, показання індикатора пов’язані з інтенсивністю магнітного поля між проводами в системі Лехера, а, отже, й з електричними струмами, які проходять по проводах. До складу індикатора входить також коротка дротинка, яка під’єднана до однієї з клем гальванометра. Змінюючи її положення, можна регулювати показання індикатора.

Рисунок 6.1 – Схема експериментальної установки: 1 – генератор УКХ; 2 – індуктивний зв’язок; 3 – два паралельні проводи (система Лехера); 4 – пересувний місток з індикатором

Необмежена двопровідна система

Розглянемо фізичну сутність процесів, що відбуваються в системі Лехера відповідно з [1]. Візьмемо до уваги, що поперечні розміри системи є досить малими у порівнянні з довжиною хвилі. Це означає, що вздовж поперечного напрямку електромагнітне поле можна вважати квазістаціонарним. У той самий час вважаємо, що проводи є довгими – на їх довжині повинно укладатись, щонайменше, кілька хвиль. Тому електричні струми в проводах не квазістаціонарні, сила струму , а також лінійна густина електричного заряду істотно змінюються вздовж них (вісь X спрямована паралельно проводам). Внаслідок симетрії струм , що проходить вздовж одного з проводів, є рівним і протилежно спрямованим струму, що проходить напроти нього вздовж іншого проводу (див. рис. 6.1, стрілками позначено напрямок електричних струмів у деякий момент часу). Аналогічно розміщуються й електричні заряди на проводах. Електричну напругу між проводами, що виміряна вздовж перпендикуляра до них, будемо позначати через .

Рисунок 6.2 – До розрахунку напруги та струму в двопровідній системі

Розглянемо на одному з проводів системи Лехера нескінченно малу ділянку (рис. 6.2). Через точку А за час усередину розглянутої ділянки входить електричний заряд , а через точку D виходить заряд . Різниця заряду, який входить, над зарядом, що виходить, становить . Виходячи із закону збереження електричного заряду, ця величина дорівнює зміні заряду всередині розглянутої ділянки (нагадаємо, що тут – густина електричного заряду). Таким чином,

. (6.1)

Застосуємо тепер до контуру ADCB рівняння Максвела

, (6.2)

де – магнітний потік², що пронизує цей контур. Інтеграли на окремих ділянках контуру ADCB дорівнюють

, ,

,

, (6.3)

де – сумарний опір елементів проводів AD і СВ. У співвідношеннях (6.3) – напруга між точками D та C, – напруга між точками B та A. Тоді з (6.2) та (6.3) отримуємо

. (6.4)

Нагадаємо, що величини , і є заряд, магнітний потік і опір одиниці довжини двопровідної лінії. Далі будемо припускати, що опір дорівнює нулю. Використаємо тепер умову квазістаціонарності для поперечних характеристик системи. Позначимо через , відповідно ємність та індуктивність одиниці довжини лінії. Ці величини знайдемо з співвідношень

, . (6.5)

Вилучивши з рівнянь (6.1), (6.4) і , та враховуючи, що , отримаємо

, (6.6)

. (6.7)

Вилучивши з системи рівнянь (6.6), (6.7) або силу струму, або напругу та отримаємо відповідні хвильові рівняння

. (6.8)

Це означає, що вздовж двопровідної системи Лехера поширюється хвиля струму та напруги з фазовою швидкістю

. (6.9)

Для тонких циліндричних проводів радіуса , відстань між якими дорівнює , індуктивність та ємність дорівнюють

, . (6.10)

Підставляючи (6.10) до (6.9), отримуємо

, (6.11)

де – швидкість світла у вакуумі. Таким чином фазова швидкість поширення хвиль струму, напруги у двопровідній лінії збігається зі швидкістю поширення електромагнітних хвиль у вільному просторі.

Вище ми не вводили ніяких припущень про форму коливань і хвиль у системі Лехера. Будемо вважати далі, що коливання і хвилі гармонічні. У випадку біжучої хвилі струм та напруга коливаються в однакових фазах. Це безпосередньо випливає зі співвідношень (6.6), (6.7). Змінні струм, напруга створюють змінні електричне та магнітне поля. Неважко з’ясувати, що в біжучій хвилі вектори напруженості електричного та магнітного поля перпендикулярні до проводів, їх початкові фази коливань збігаються з відповідними фазами струму та напруги .

Стоячі хвилі в системі Лехера

Якщо в деякій ділянці необмеженої двопровідної лінії створити гармонічні коливання струму або напруги, то в ній виникне біжуча хвиля, як це випливає з рівнянь (6.8). Розглянемо тепер випадок, коли лінія обмежена. Тоді на її кінцях у будь-який момент часу повинні виконуватися граничні умови. Якщо кінці обох проводів розімкнуті, то в цій точці електричний струм повинен дорівнювати нулю. Якщо ж кінці проводів з'єднані (опір провідника між ними дорівнює нулю), то на кінці лінії напруга повинна дорівнювати нулю. Дійсно, відповідно до закону Ома струм у провіднику, який з’єднує два проводи системи Лехера, дорівнює . Якщо б напруга на кінці лінії не дорівнювала нулю, то при по провіднику проходив би нескінченно великий струм , що фізично неможливо. Біжуча хвиля не задовольняє жодне з цих граничних умов. Природа тут, як і у всіх аналогічних випадках, знаходить простий вихід із такого положення: досягнувши кінця лінії, хвиля відбивається і біжить у зворотному напрямку. Від накладення падаючих і відбитої хвиль у лінії виникає стояча хвиля, яка задовольняє вище зазначені граничні умови.

Розглянемо деякі властивості стоячих хвиль. Для хвилі струму, що біжить зліва направо (див. рис. 6.1), можемо записати

, (6.12)

для відбитої хвилі (поширюється справа наліво)

. (6.13)

Тоді результуючий струм є суперпозицією струмів та :

, (6.14)

Рівняння (6.14) є рівнянням стоячої хвилі. У кожній точці двопровідної лінії, яка характеризується координатою відбувається гармонічне коливання струму з амплітудою . Амплітуда дорівнює нулю у тих точках, де . Такі точки називають вузлами струму. Посередині між двома сусідніми вузлами амплітуда коливань набуває максимального значення. Такі точки називають пучностями струму. Відстань між двома сусідніми вузлами або пучностями називають довжиною стоячої хвилі. Її можна визначити з умови . Звідси . Тобто довжина стоячої хвилі дорівнює половині біжучої хвилі. В усіх точках між двома сусідніми вузлами коливання струму відбуваються в однакових фазах. Тут має місце одночасне проходження струму через нуль, одночасно струм досягає максимуму. Якщо перейти через вузол, то знак зміниться на протилежний. Це означає, що фаза зміниться стрибком на .

Як було зазначено вище, стояча хвиля задовольняє граничні умови. У випадку незамкнутої лінії на її кінці виникає вузол струму і пучність напруги. Якщо ж лінія замкнена, то на кінцях з'являються пучність струму і вузол напруги. Вузли струму збігаються з пучностями напруги, а пучності струму – з вузлами напруги. Посередині між двома пучностями струму знаходиться пучність напруги, посередині між двома вузлами струму – вузол напруги і т.д. Як бачимо, коливання струму і напруги в стоячій хвилі зміщені за фазою на . У вузлі струму, або напруги один з векторів та , а разом з ним і вектор Пойнтiнга дорівнює нулю. Це означає, що електромагнітна енергія виконує коливальний рух між пучністю (вузлом) струму і сусіднім вузлом (пучністю) напруги, але вона не може переходити з одного боку вузла (пучності) до іншого. Тобто ніякого переносу енергії уздовж усієї лінії не відбувається. Тому такі хвилі і називають стоячими хвилями.

Найбільш сильні вимушені стаціонарні коливання струму і напруги в лінії виникають при деяких визначених частотах. Справа в тому, що на кінцях двопровідної лінії повинні завжди виконуватися граничні умови. Якщо, наприклад, на обох кінцях лінії є вузли струму (напруги), то це відбувається тоді, коли в лінії укладається ціле число напівхвиль. Такі коливання називають власними коливаннями лінії. Якщо частота не буде збігатися з однією з власних коливань, то відбуватимуться достатньо складні нестаціонарні коливання (початкові фази відбитих хвиль будуть з часом змінюватися).

Рисунок 6.3 – Розподіл струмів, зарядів, магнітного та електричного полів у двопровідній лінії Лехера для деякого моменту часу

На рис. 6.3 показано розподіл струмів, зарядів, магнітного та електричного полів у стоячій хвилі у двопровідній лінії Лехера для деякого моменту часу. Синусоїди на рисунку показують залежність електричного струму від координати , знаки “+” та “–“ показують розміщення електричних зарядів відповідного знака. Силові лінії напруженості електричного поля на рисунку лежать у площині, яка утворює двопровідна лінія, вектор індукції магнітного поля перпендикулярний до цієї площини. На кінці двопровідної лінії розташовано вузол струму та магнітного поля (пучність напруги та напруженості електричного поля).