7. Геометрические и механические приложения несобственнОго интегралА 2-го рода

Здесь вычисление площади, объема, масса пластинки осуществляются как и для определенного интеграла, но с учетом особенности точек a или b.

1.. Площадь. Площадь с a или b особыми точками.

Пример 38. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезком оси абсцисс, графиком функции для и его асимптотой. Решение. Так как здесь - особая точка и уравнение асимптоты , то, вследствие положительности функции f(x), площадь . Сделаем замену t = cos x. Тогда и , , а .

Пример 39. Пусть для . Вычислить площадь фигуры, ограниченной асимптотами графика f(x). Решение. Здесь две особые точки: a = 0 и b = π. График f(x) знакопеременен: для и для . Тогда площадь . Но , ибо для , так как и на , где ,

а sin x > 0 на (0, π). Вычислим по отдельности слагаемые суммы (Е). Так

, а другой выычисляется как . Отсюда S = 2 + 2 = 4.

2. Объем тела вращения вокруг оси OX вычисляется как , где a или b могут быть особыми.

Пример 40. Найти объем тела вращения при при . Решение. Здесь . Особая точка

a= 0. Интеграл . Отсюда V=2.

3. Механические приложения несобственного интеграла 2-го рода осуществляются как и для определенного интеграла с учетом особых точек. Это масса пластины, статические моменты, центр масс и др. .

Пример 41. Пусть фигура пластины образована графиком на [0, 1) с поверхностной плотностью . Найти массу пластины. Решение. Масса , так как f(x) > 0. Отсюда .

Замечание 10. Приложения с применением несобственного интеграла 2-го рода целесообразны, когда размеры фигуры достаточно большие.

8. Признаки сходимости интегралА 2-го рода от положительных функций

Теорема 7 (мажорантный признак). Если f(x) и g(x) определены на [a, b), интегрируемы на любом и на [a, b), то из сходимости следует сходимость и из расходимости расходимость ( для (a, b] формулируется аналогично).

Пример 42. Исследовать . Решение. Здесь b = 1особая точка. На [0, 1) имеем и сходится. Тогда искомый интеграл сходится по мажорантному признаку.

Пример 43. Исследовать J = . Решение. Здесь особая точка a = 0 и на (0, 1] по возрастанию . Но расходится, а с ним и J.

Теорема 8 (предельный признак). Если положительные f(x),g(x) определены на [a, b), интегрируемы на всех и g(x) > 0 на [a, b) и существует , где , то оба и сходятся или расходятся одновременно. Если же k = 0, то из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости следует расходимость (при функция f(x) =О^* (g(x))) .

Пример 44. Исследовать на сходимость. Решение. Здесь особая точка b = 1. Возьмем за функцию сравнения . Тогда и здесь . Но расходится, ибо здесь λ = 1 (см. пример 31). Поэтому расходится и исходный интеграл. Отметим, что выбор за функцию сравнения, обусловлен тем, что при . и особенность в (1 - x ³) определяется функцией (1 - х) ^-1.

Пример 45. Исследовать . Решение. Здесь особая точка b = 1 и . Тогда при будет . Таким образом, здесь , а так как сходится, то сходится также по мажорантному признаку исходный интеграл.

Пример 46. Исследовать . Решение. Здесь особая точка a = 0 Возьмем за . Тогда . Итак, здесь k = 0, но сходится. Тогда по мажорантному признаку исходный интеграл тоже сходится.

Следствие 2 (эквивалентный признак). Если положительные функции f(x) , g(x) определены на [a, b), интегрируемы на любой его части и g(x) > 0 , а также эквивалентны между собой:

f(x)~g(x) при (т.е. ), то и сходятся или расходятся одновременно ( ибо.здесь k = 1 ) .

Замечание 11. На практике эквивалентность f(x) ~ g(x), поскольку f (x) и g (x) неограниченны в окрестности точки b, обычно проверяется для бесконечно малых функций и , если f(x), g(x) > 0, а отсюда из ~ получаем эквивалентность f(x) ~ g(x) при

Пример 47. Исследовать . Решение. Здесь на (0, 1] и ~ при . Тогда за функцию сравнения можно взять и ~ при как бесконечно большие. Но сходится, а с ним и исходный интеграл.

Пример 48. Исследовать . Решение. Здесь особая точка a = 0, а на (0, 1]. Обратная эквивалентна функции х. Тогда берем . Но - расходится. Поэтому исходный интеграл по следствию 2 тоже расходится. Отметим, что. ~ при .

Пример 49. Исследовать на сходимость . Решение. Здесь особая точка a = 0, а и . По формуле Тейлора имеем при . Тогда ~ при . Возьмем за . Очевидно - сходится., а c ним по следствию 2 и исходный интеграл. Здесь ~ при как бесконечно большие.

Пример 50. Исследовать . Решение. При α < 1 и ε = 1 – α имеем ε > 0. Особая точка a = 0. Подинтегральная функция представляется как . При будет (что легко установить по правилу Лопиталя). Тогда существует такое δ > 0, что при всех будет . Из равенства (F) получаем оценку при . Но сходится и по мажорантному признаку сходится и . Но , где второй интеграл собственный и существует. Тогда из сходимости 1-го интеграла и существования 2-го следует сходимость и при α < 1 исходный интеграл сходится. Если же , то при будет и . Но - расходится при . Тогда по мажорантному признаку исходный интеграл расходится при .