10. Главное значение интегралА 2-го рода
Определение
6.
Пусть f(x)
интегрируема (в собственном смысле или
несобственном) на отрезках
и
,
где
и неограничена в окрестности точки
.
Тогда интегралом
в смысле главного значения называется
= V.P.
.
Если существует несобственный
интеграл
,
то существует и интеграл в смысле V.P.
и они равны, но, вообще говоря, не
наоборот.
Пример
54.
Рассмотрим
.
Решение.
Здесь особая точка c=0
и
и
не существуют. Тогда
расходится. Однако V.P.
0+0=0.
11. Связь интегралов 1-го и 2-го рода
Имеется
связь между этими интегралами при
замене переменной и переходе от одного
вида интеграла к другому. Так
,
где b
– особая точка переходит при замене
в интеграл 1-го рода. Действительно,
и a
переходит в
,
а b
переходит в ∞.
Здесь
.
Тогда
и они сходятся или расходятся одновременно.
Возможен и обратный переход интеграла
1-го рода в интеграл 2-го рода
Для
этого сделаем замену
или
,
где
и a
> 0 (возьмем для определенности этот
случай). Тогда a
переходит в
,
а ∞
в 0 и
.
Тогда
и 0 – особая точка ,а оба интеграла
сходятся или расходятся одновременно.
Приведем примеры.
Пример
55. Преобразовать
в интеграл 1-го рода и исследовать его
сходимость. Решение.
Введем
,
где b
= 1 особая точка. Тогда
,
и
.
Последний же интеграл сходится по
предельному признаку, где за функцию
сравнения взяли
интеграл от которой на
сходится ибо
и тем самым k
0
.
Пример
56.
Преобразовать интеграл
в интеграл 2-го рода и исследовать его
сходимость. Решение.
При
или
точка 1 переходит в 1, а ∞ в 0 и
.
Имеем
.
Последний же интеграл расходится (здесь
особая точка a
= 0). Действительно, беря за функцию
сравнения
(ибо особенность здесь именно такого
вида), получаем
.
Но
расходится. Тогда и несобственный
интеграл 1-го рода тоже расходится.
Замечание
14.
Если [a,
∞) – отрезок интегрирования и a
особая ,то берут точку
,
и
. Тогда исследуется сходимость в ∞ и
точке a
отдельно.
Пример
57.
Исследовать сходимость
на
. Решение.
Здесь для
особая точка a
=
0. Разделим 0 и ∞
точкой c
= 1. Тогда
.
Используем признаки сравнения для
каждого из интегралов по отдельности.
Здесь целесообразно применить
эквивалентный признак ибо
~
при
и
~
при
.
Но
и
сходятся. Тогда сходятся по эквивалентному
признаку
и
.
Отсюда
сходится как сумма сходящихся интегралов.
Пример
58.
Исследовать сходимость
. Решение.
Функция
имеет особую точку a
= 0, а отрезок интегрирования бесконечный.
Разделим точки a
= 0 и ∞ точкой c
=
1. Рассмотрим
.
Используем, как и в примере 57 эквивалентный
признак сравнения для интегралов 1-го
и 2-го рода. Тогда
~
при
и
~
при
.
Так как
сходится, то сходится и
. Но
расходится и по эквивалентному признаку
расходится. Тогда исходный интеграл
расходится ибо одно из слагаемых в (G)
расходится.
Приведем физический пример с интегралом 2-го рода.
Пример
59.
Зависимость периода колебаний Т
математического маятника от его длины
L
и начального угла отклонения от
вертикали
выражается формулой:
.
Показать, что этот интеграл сходится
при
. Решение.
На отрезке (0, π) подинтегральная
функция имеет одну особую точку
.
Но при
:
~
.
Но интеграл
сходится. Тогда по эквивалентному
признаку интеграл
- сходится и, тем самым , Т
– существует.
Замечание
15.
Здесь интересно рассмотреть крайние
случае:
и
.
Если представить маятник как невесомый
стержень один конец которого закреплен
в шарнире без трения, а второй с
закрепленной на нем точечной массой
будет свободен. Тогда можно говорить о
начальных углах
и
.
Но тогда маятник качаться вообще не
будет, так как в 1-ом случае он находится
в устойчивом положении, а во 2-ом
неустойчивом. Это видно из того, что
при
,
а при
имеем
.
Тем самым по мере приближения начального
положения маятника к состоянию
неустойчивого равновесия период его
колебаний неограниченно растет (т.е. он
начинает непериодично раскачиваться).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ Литература
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. - М.: Высшая школа, 1988.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. II. – М.: Наука, 1974.
3. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды . М.: Наука, 1967.