Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Определение. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
,
(1)
называется алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы
можно задать матрицу
. (2)
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (1) примет вид:
(в предположении, что λ1,2 не
равны 0).
Зададим последующий параллельный перенос формулами:
.
Получим в новой координатной системе
уравнение
.
(3)
Рассмотрим возможные геометрические
образы, определяемые этим уравнением
в зависимости от знаков λ1, λ2
и
:
если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и одного знака, уравнение (3) представляет собой каноническое уравнение эллипса:
,
где
(случаи
и
,
имеющего знак, противоположный знаку
λ1, λ2, будут рассмотрены
в следующей лекции).
если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (3) является каноническим уравнением гиперболы:
или
,
в зависимости от знака
.
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (1) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
,
(4)
являющимся каноническим уравнением параболы.
Пример.
Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка
3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0.
Матрица квадратичной формы 3x² + 10xy + 3y² имеет вид:
.
Найдем ее собственные
числа и собственные векторы. Составим
характеристическое уравнение:
Для координат собственного вектора е1,
соответствующегоλ1,
получим с учетом нормировки:
, откуда e1
= {
}.
Аналогично найдем е2:
,
e2
= {
}.
Составим матрицу перехода к новому
базису, столбцами которой будут координаты
собственных векторов:
.
Тогда
.
Подставив эти выражения в исходное
уравнение, получим его вид в новой
системе координат:
Заметим, что коэффициентами при x²
и y²
являются λ1
и λ2.
Преобразуем
полученное уравнение:
Зададим параллельный
перенос формулами:
.
Получим уравнение:
,
а после деления на 8:
- каноническое
уравнение гиперболы.