Классификация кривых второго порядка
Рассмотрим общее уравнение второго порядка:
(1)
и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.
Если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 одного знака, уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа. Его можно привести к виду: , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:
а) если имеет тот же знак, что и λ1,2, при делении на получаем
- каноническое уравнение эллипса.
б) если
=0,
уравнение
имеет единственное решение:
,
определяющее точку на плоскости.
в) если знак противоположен знаку λ1,2, уравнение после деления на примет вид:
.
Множество его решений пусто (иногда это
пустое множество называют мнимым
эллипсом).
Если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 разных знаков, уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа.
а) при
оно сводится к одному из двух видов:
или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.
б) При
=0
получаем уравнение
,
эквивалентное двум линейным уравнениям:
и
,
задающим пару пересекающихся прямых.
Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (1) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:
а) к уравнению: , определяющему параболу;
б) к уравнению
,
или
,
задающему пару параллельных прямых;
в) к уравнению
,
определяющему одну прямую (или пару
совпадающих прямых);
г) к уравнению
,
не имеющему решений и, следовательно,
не определяющему никакого геометрического
образа.
Кафедра информатики и высшей математики КГПУ