15. Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

28.Инегралы 1-го рода. Предположим, что функция   задана на бесконечном промежутке вида   и интегрируема на любом конечном отрезке   , где   . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел   то число   называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл   называется сходящимся (иными словами, интеграл   сходится).

Если же предела   не существует (например, если   при   ), то интеграл   называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.    

Интегралы 2-го рода.   Пусть функция   удовлетворяет указанным выше условиям на   . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

значение   которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

30. Двойным интегралом от функции f (x,y) по области D называется конечный предел двумерной интегральной суммы, вычисленный при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму.

Рассмотрим функцию двух переменных  , заданную и непрерывную в замкнутой области

D   XOY.

1.     Разобьем область D на n малых элементарных частей произвольным образом. Обозначим через S_i площадь  i-ой части, а через di- диаметр i-ой части. Число  = max  , где i = 1,…,n,  назовем рангом разбиения двумерной области D.

В каждой части разбиения выберем произвольную точку P_i (x_i,y_i) и вычислим значение функции z в ней: f ( ) = f (P_i), i = 1, …, n, (Рис. 1)

3.     Составим сумму парных произведений значений функции f (P_i) на площади S_i соответствующих частей разбиения:

(1)

эта сумма называется двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D (двумерной суммой Римана).

4.     Вычислим предел интегральной суммы (1) при условии, что ранг разбиения   0. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные части и от выбора точек Pi в каждой части, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.

Обозначение и терминология:

(2)

D — область интегрирования;

f (x,y) — подынтегральная функция; f (x,y)dS — подынтегральное выражение; dS — бесконечно малый элемент области интегрирования

          (дифференциал площади плоской области).