43. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х и имеет в ней производные до порядка n +1 включительно. Тогда для всякого х из этой окрестности справедливо равенство

f(x)= f(x₀ )+

Где с – некоторая точка из интервала (х, х )

Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен

Р_n (х) = f(х₀ ) +

Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

R_n (x)= = f(x) – P_n (x)

Таким образом, многочлен Тейлора Р_n (х ) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора R_n (х ).

Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х₀ = 0:

f(x)= f(0) +

где с – некоторая точка из интервала (0, х).

11. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке    (  - множество действительных чисел), если для любой последовательности  , такой, что

выполняется соотношение

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

1. Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел   существует;

3. Выполняется равенство  .

32.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то   un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) .Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = un=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если  un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд   расходится, так как un= . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  un=0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд          (6) расходится, хотя  un=

33. При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число число ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

35. Линейная комбинация рядов

Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд   (α, β — постоянные), при этом

36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.

37. Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.

39. В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда^[1]:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»:  -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной   от длины исходной струны.