1.11. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Пусть (x) и (x) – б.м. функции при x  a (x + , x  –, x  x₀, ...). Рассмотрим предел их отношения при x  a.

1. Если = b и b – конечное число, b  0, то функции (x), (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x  a.

2. Если = 0, то (x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем (x) при x  a. Очевидно, в этом случае = .

3. Если (x) – б.м. высшего порядка, чем (x), и = b  0 (b – конечное число, k  N), то (x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с (x) при x  a.

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то (x), (x) называют несравнимыми б.м. при x  a.

5. Если = 1, то (x), (x) называются эквивалентными б.м. при x  a, что обозначается так: (x)  (x) при x  a.

Пример 1. (x) = (1 – x)³,  (x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x  1 функции (x), (x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x  1:

=

Вывод: (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) при x  1.

Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что (x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с (x) при x  1.

Пример 2. Функции ₁(x) = 4x, ₂ (x) = x², ₃(x) = sinx, ₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x  0. Сравним их:

= 0, , = 1, = .

Отсюда заключаем, что ₂(x) = x² – б.м. высшего порядка, по сравнению с ₁(x) и ₃(x) (при x  0), ₁(x) и ₃(x) – б.м. одного порядка, ₃(x) и ₄(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x  0.

Теорема 1. Пусть (x) ~ ₁(x), (x) ~ ₁(x) при x  a. Если существует , то существует и , и = .

Доказательство. = 1, = 1,

= = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x  0, поэтому

= = .

Теорема 2. Бесконечно малые функции (x) и (x) эквивалентны (при x  a) тогда и только тогда, когда (x) – (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) и (x) (при x  a).

Доказательство

Пусть (x) ~ (x) при x  a. Тогда = = 0, т.е. разность (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) при при x  a (аналогично с (x)).

Пусть (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) и (x), покажем, что (x) ~ (x) при x  a:

= = + = 1,

т.е. (x) ~ (x) при x  a.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Пусть (x) – б.м. низшего порядка по сравнению с (x) и (x) при x  a, т.е. = 0 и = 0.

Покажем, что (x) ~ ((x) + (x) + (x)) при x  a:

= + + = 1 + 0 + 0 = 1.

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x  0: 4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

= = = .

1.12. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Если существует и , то функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, а x₀ называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство описывается формулой:

>0 >0 x(x₀ – , x₀ + ) |f(x) – f(x₀)| <  .

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, если существуют f(x), f(x) и

f(x) = f(x) = f(x₀).

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x₀ справа или слева. Пусть функция определена в точке x₀ и некоторой ее левой полуокрестности.

Если f(x) = f(x₀), то говорят, что f(x) непрерывна в точке x₀ слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x³ определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x₀ = 2.

Действительно, f(2) = 2³ = 8, f(x) = x³ = 8, f(x) = f(2), значит, f(x) = x³ непрерывна в точке x₀ = 2.

Пример 2. f(x) = .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x₀ = 0:

f(0) = 0, f(x) = 2x = 0, f(x) = sinx = 0.

Так как f(x) = f(x) = f(0), то непрерывность функции f(x) в точке x₀ = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва.

Пусть f(x) определена в окрестности точки x₀, но может быть не определена в x₀.

Точка x₀ называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x₀ функция f(x) не определена, или f(x) не существует, или f(x) f(x₀).

Пример 3. Функция f(x) = не определена в точке x₀ = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x₀ = 0 является точкой разрыва для f(x).

Пример 4. Функция f(x) = не определена в точке x₀ = 3, x₀ = 3 – точка разрыва для f(x).

Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x₀. Так E = 1, E(5) = 5, E() = 3, E(0) = 0, E(–0,5) = –1 и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14. Для x₀ = 2: E(2) = 2, E(x) = 1, E(x) = 2.

Т ак как E(x)  E(x), то E(x) в точке x₀ = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.

Точка разрыва x₀ для функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы: f(x) и f(x). В противном случае x₀ – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют пределы E(x) и E(x). В примере 4 x₀ = 3 – точка разрыва второго рода, так как = –, = +.

Точка x₀ разрыва первого рода, для которой f(x) = f(x), называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x₀ в примере 3. Если рассмотреть функцию (x) = , то (x) непрерывна в точке x₀ = 0, так как (x) = = = 1 и (0) = 1. Доопределив функцию в точке x₀ = 0, мы устранили разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f₁(x) и f₂(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, f₂(x₀) 0, то частное также непрерывно в точке x₀.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функций непрерывна. Функции f₁(x), f₂(x) непрерывны в точке x₀, поэтому f₁(x) = f₁(x₀), f₂(x) = f₂(x₀). Применяя теорему о пределе суммы двух функций, получим:

(f₁(x) + f₂(x)) = f₁(x) + f₂(x) = f₁(x₀) + f₂(x₀),

что означает непрерывность f₁(x) + f₂(x) в точке x₀. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулу f(x) = f(x₀) (определяющую непрерывность функции f(x) в точке x₀) можно записать в виде: f(x) = f( x), так как x = x₀. Эта формула означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = (x) непрерывна в точке x₀, а функция y = f(u) непрерывна в точке u₀ = (x₀), то сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке x₀.

Доказательство. Покажем, что f((x)) = f((x₀)). Действительно, из непрерывности функции (x) имеем: (x) = (x₀) = u₀, т.е. при x x₀ следует, что u u₀. Далее, из непрерывности функции f(u) получаем:

f((x)) = f(u) = f(u₀) = f((x₀)).

Теорема доказана.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x₀R, так как C = C.

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x₀, так как x = x₀. Тогда функция y = Cxⁿ, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a₀ + a₁x + a₂x² + ...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x₀ = 0, так как

sinx = 0, sin0 = 0, cosx = 1, cos0 = 1, т.е. sinx = sin0 и cosx = cos0

(Это было доказано в разд. 1.9 ).

Сформулируем без доказательств следующую теорему.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция f(x) = непрерывна на интервалах (–, 3) и (3, +), так как при x₀ 3: f(x) = = f(x₀).