§8. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.

Пусть дана система m-линейных уравнений с n-неизвестными

( 1 )

Введём в рассмотрение матрицу коэффициентов матрицу неизвестных матрицу правых частей Тогда исходную СЛАУ можно

запмсать в матричном виде AX = B. ( 2 ).

Пример 1. Записать СЛАУ в матричной форме.

Здесь , , в формуле ( 2 ).

Кроме того, учитывая, что решение можно найти по формуле X = A . Вычисления обратной матрицы сделаны в примере 2 из §7, поэтому получим

Решение исходной СЛАУ

§ 9. Метод Гаусса.

Пусть дана СЛАУ ( 1 )

с матрицей коэффициентов вектором неизвестных

вектором правых частей

Определение 1. Будем называть матрицу (АlВ)= расширенной матрицей коэффициентов системы ( 1 ).

Идея метода Гаусса состоит в том, что расширенная матрица коэффициентов СЛАУ (1) с помощью элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду. Эта процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса состоит в решении полученной СЛАУ, начиная с последних уравнений.

Пример1.Проиллюстрируем метод Гаусса, решая систему .

Запишем расширенную матрицу .

Получили ступенчатую матрицу. На этом прямой ход завершен. Выполненные преобразования соответствуют исключению первого неизвестного x из второго и третьего уравнения и исключению второго неизвестного y из третьего уравнения. Поэтому метод Гаусса называют часто методом исключений. Получена равносильная система с верхней треугольной матрицей

, ( 2 )

Прямой ход на этом завершен. Выполнение обратного хода состоит в решении СЛАУ ( 2 ) , начиная с последнего уравнения. Получаем

Пример 2.Найти решение СЛАУ методом Гаусса.

.

При составлении расширенной матрицы для удобства поменяем местами первое и второе уравнения. Исключим последовательно первое неизвестное из второго и третьего уравнения, а на следующем шаге второе неизвестное из третьего уравнения. Получим

. Перед выполнением обратного хода получилась СЛАУ с верхней треугольной матрицей . Теперь выполняем обратный ход. Из третьего уравнения находится из второго а из первого

Ответ .

Вопрос о том, существует ли решение у СЛАУ и если существует, то сколько решений будет иметь СЛАУ, пока открыт. Другими словами, всегда ли возможно проведение процесса исключения до конца и если возможно, то всегда ли обратный ход однозначно разрешим..

§ 10. Разрешимость слау. Теорема Кронекера-Капелли.

Пусть дана СЛАУ m уравнений с n неизвестными.

ТЕОРЕМА 1 (КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ). Для того, чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов СЛАУ и ранг расширенной матрицы СЛАУ были равны, т.е.

В рассмотренных в §9 примерах 1, 2 =3, что также совпадало с числом неизвестных, поэтому СЛАУ имели единственное решение. Рассмотрим более сложный пример.

Пример 3. Исследовать совместность СЛАУ и найти её решения.

.

Составим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому виду

.

В результате процесса исключений получили равносильную СЛАУ

, которая содержит 2 уравнения с 3 неизвестными. Она имеет бесконечное множество решений. Эти решения можно найти по формуле x = c ; y = 1-c ; z = 0, где с. Заметим также, что у этой СЛАУ = 2.

Пример 4. Исследовать совместность СЛАУ и найти её решения.

.

Составим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому виду

.

В результате процесса исключений получили равносильную СЛАУ

, которая несовместна, т.к. 2, а =3.

Можно показать, что справедлива теорема о количестве решений СЛАУ.

ТЕОРЕМА 2. Пусть система m линейных уравнений с n неизвестными разрешима,

= r. Тогда при r = n, СЛАУ имеет единственное решение, а при

при r  n, СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Удобство применения метода Гаусса состоит в том, что вопрос о совместности СЛАУ и количестве её решений выясняется в процессе реализации прямого хода.

Пример 5. Исследовать совместность СЛАУ и найти её решения.

. ( 1 )

Очевидно, что данная СЛАУ не может иметь единственное решение, т.к. , а неизвестных 5. Построим расширенную матрицу и выполним прямой ход метода Гаусса.

. Прямой ход закончен. = 2, т.к М . Чтобы найти общее решение СЛАУ оставим 2 и 3 неизвестные в левых частях уравнений, а остальные перенесём в правые. При этом неизвестные, остающиеся в левой части называют базисными, а те, которые стоят в правых частях свободными. Очевидно, что число базисных неизвестных равно рангу СЛАУ, а число свободных разности между количеством неизвестных и рангом СЛАУ. В рассматриваемом примере базисные, свободные. Положим свободные переменные равными любым действительным числам Найдём через эти переменные.

( ! )

В матричной форме решение

можно переписать в виде суммы

Замечание. Выполнение обратного хода можно заменить последовательным решением 4 более простых задач. А именно, получается при решении ( 1 ), когда

есть решение однородной СЛАУ при ,

есть решение однородной СЛАУ при

есть решение однородной СЛАУ при

Следует также отметить, что неоднородная СЛАУ может быть несовместна в случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных.

Пример 6. СЛАУ

состоит из 4 уравнений с 5 неизвестными. Проверим условия теоремы Кронекера – Капелли.

. Получили, что , а . Поэтому система несовместна.