§ 11. Исследование однородных слау.

Пусть дана однородная СЛАУ АХ= 0 состоящая из m уравнений с n неизвестными.

Как следует из теоремы Кронекера – Капели однородная СЛАУ всегда совместна, т.к.

всегда является решением однородной СЛАУ. Из теоремы о числе решений вытекает, что это решение единственное, если ( числу неизвестных ). Если  , то решений множество. В таком случае говорят, что однородная СЛАУ имеет ненулевые решения. В частности, справедлива следующая

Теорема. Для того, чтобы однородная СЛАУ, содержащая уравнений с неизвестными имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов СЛАУ был равен нулю.

Пример 1. Показать, что 3 точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

( 1 )

Доказательство. Пусть уравнение прямой, на которой лежат указанные точки имеет вид

. Тогда координаты точек , , удовлетворяют этому уравнению

.

Получилась однородная система 3 уравнений с тремя неизвестными . Для того, чтобы она имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю, т.е. выполнялось равенство ( 1 ).

Пример 2. Найти множество всех решений СЛАУ

Система состоит из 3 уравнений с 5 неизвестными, поэтому она имеет множество решений.

Как было установлено в примере 5 из § 11 множество решений этой системы ( часто называемым общим решением СЛАУ ) можно задать вектором

,где

любые действительные числа. Там же найден ранг матрицы коэффициентов, равный 2. Поэтому количество коэффициентов равно 3=5-2, которое называют дефектом матрицы.

Кроме того, можно показать, что общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме общего решение соответствующей однородной СЛАУ и некоторого частного решения неоднородной СЛАУ. См. пример 5 из § 10.

§ 12.Понятие линейной зависимости и линейной независимости .

Пусть дана матрица

А= .

Обозначим её строки и будем рассматривать их как векторы.

Определение 1. Будем говорить, что строки матрицы А линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулевой стороке только в том случае, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, т.е. линейно независимы

В противном случае строки матрицы называют линейно зависимыми, т.е. линейно зависимы, если найдутся такие коэффициенты линейной комбинации не все равные нулю , с которыми линейная комбинация равна нулевому вектору.

П ример 1. Строки матрицы А= линейно зависимы, т.к. .

.

Можно показать, что строки матрицы будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда одна из них является линейной комбинацией других с коэффициентами отличными от 0.

.

В примере 1 .

Кроме того, если матрица квадратная, то для линейной независимости её строк необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица из примера 1 вырожденная, поэтому её строки линейно зависимы.

Замечание. Понятие линейной зависимости и линейной независимости аналогично формулируется для столбцов матрицы.

Пример 2. Столбцы матрицы А= линейно зависимы, т.к. , , .

Пример 3. Столбцы и строки матрицы линейно независимы, т.к.

Пример 4. Матрица имеет 2 линейно независимые строки. Например, строки ( )или ( )или ( ) или ( ) или ( )или ( ). Она имеет также 2 линейно независимых столбца. Это столбцы ( ) или ( ) или ( ). В примере 1 из §7 показано, что Rg A = 2.

Замечание. Можно показать, что количество линейно независимых строк и столбцов матрицы одинаково и совпадает с рангом матрицы. Поэтому за ранг матрицы можно принять количество линейно независимых строк ( столбцов ) матрицы. Это определение равносильно с данными ранее в §6 и §7 определениями ранга матрицы.

В [ 5 , стр. 16 - 21] даётся известное определение векторного пространства и описывается одно из распространённых пространств линейное пространство m- мерных векторов над полем действительных чисел. Его точки теперь можно называть векторами ( можно рассматривать векторы – строки, а можно – векторы столбцы ). Векторы

, , ( 1 )

где единица стоит на i – м месте образуют максимальную линейно независимую систему векторов этого пространства ( такая система носит название базиса векторного пространства ), ввиду чего оно и называется m- мерным векторным пространством. По базису ( 1 ) любой вектор может быть разложен, т.е. представлен в виде

( 2 )

Индекс при векторе договоримся писать внизу, а координаты будем отмечать верхним индексом.

Определение линейного преобразования [ 4, стр. 35 – 42 ] при фиксации базисов в и позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и n×m матрицами ,

При этом столбец с номером j матрицы , отвечающей преобразованию , состоит из координат образа вектора . Координаты образа произвольного вектора могут быть получены умножением матрицы линейного преобразования на столбец координат вектора

( 3)

при этом отображения , будем называть координатными.

Очевидно, что отображение линейно тогда и только тогда, когда каждое из координатных отображений линейно.

При наличии в структуры векторного пространства можно говорить о линейной комбинации отображений и , полагая

( 4 )

В частности, линейная комбинация линейных отображений ,

есть отображение , которое , очевидно линейно. Матрица этого отображения есть соответствующая линейная комбинация матриц отображений и . Композиция линейных отображений , , очевидно, также является линейным преобразованием, матрица которого есть произведение АВ матриц преобразований и . Кстати, закон умноження матриц определён в соответствии с тем, чтобы композиции преобразований отвечало произведение матриц.