Аналітичне задання проективного перетворення площини

старі координати нові координати

(див. формули координат точки при перетворенні репера)

Ф ормули аналітичного задання проективного перетворення площини

Група проективних перетворень площини

, G – множина всіх перетворень площини

М - множина проективних перетворень , М

? М- група ? М--- група властивості ,



ƒ, М, A,B,C,D d

(*) ()

()()

- проективне ,



, , Розглянемо

- проективне

()

За властивістю  - проективне !

=e - тотожне перетворення () (), ()

, - група проективних перетворень площини

Розділ геометрії, який вивчає інваріантні властивості фігур відносно групи проективних перетворень називається

П Р О Е К Т И В Н О Ю Г Е О М Е Т Р І Є Ю.

Питання для самоперевірки.

1. Дати означення проективного перетворення площини.

2. Довести теорему про існування і єдність проективного перетворення площини.

3. Які дві леми використовуються для доведення цієї теореми? Сформулювати їх.

4. Які властивості мають проективні перетворення?

5. Чим задається проективне перетворення?

6. Вивести формули аналітичного задання проективного перетворення площини?

7. Який основний інваріант проективного перетворення ?

8. Що таке гомологія?

9. Які властивості має гомологія?

10. Чим задається гомологія?

11. Що є віссю та центром гомології?

12. Які є види гомології? Від чого вони залежать?

13. Чи є групою множина проективних перетворень площини?

14. Який із розділів геометрії називається проективною геометрією?

Тема 8: Проективні і перспективні відображення прямих і пучків.

Мета: ввести поняття проективного і перспективного відображення прямих і пучків, вивчити теореми про перспективність проективного відображення прямої на пряму, пучка на пучок.

План

1. Проективні відображення прямої на пряму, пучка на пучок ,прямої на пучок.

2. Перспективні відображення прямих і пучків.

3. Теореми про перспективність проективного відображення прямої на пряму, пучка на пучок.

4. Інволюція.

Ключові слова: проективні відображення, перетворення прямої на пряму, пучка на пучок, прямої на пучок, перспективні відображення, складне відношення 4-х прямих пучка, центр перспективи, інволюція, обернене перетворення, інваріантні елементи.

Проективні відображення прямих і пучків

Нехай

Означення: Взаємно-однозначне відображення множини точок прямої

d на множину точок прямої називається проективним, якщо

воно зберігає складне відношення чотирьох точок прямої.

Теорема: Якщо на прямих задані репери і , то існує одне і тільки одне проективне відображення прямої d на пряму , яке переводить репер R d в репер ,

1. існування

Нехай

R= d, = ,

і

1. f – ін’єктивне - бієктивне відображення

2. f – сюр’єктивне

- проективне відображення ?

f – проективне відображення

2 єдиність

Припустимо

проективні

Н аслідок Оскільки на прямих можна задати безліч реперів, то існує безліч проективних відображень однієї прямої на іншу.

Перспективні відображення прямих і пучків

N

N^!

Розглянемо

З теореми про складне відношення 4^х прямих пучка - проективне відображення

Таке проективне відображення називають перспективним відображенням прямої на пряму, O--центр перспективи

Означення: Проективне відображення прямої на пряму називається

перспективним, якщо пари відповідних точок цих прямих належать прямим деякого пучка.

Т еорема: (ознака)Проективне відображення прямої d на пряму d^/ буде перспективним тоді і тільки тоді, якщо точка перетину цих прямих при цьому відображенні переходить сама в себе.

d  Нехай

, - перспективне

 Нехай

???-чи перспективне

f - проективне

- проективне

Нехай - деяке перспективне відображення :

0 – центр перспективи

Тоді - перспективне

За принципом двоїстості

Означення Взаємно-однозначне відображення пучка з центром О на пучок з

центром називається проективним, якщо воно зберігає складне

відношення 4^х прямих пучка.

Теорема: Якщо - три прямі пучка , а - три прямі пучка ,

то існує і при тому єдине проективне відображення пучка на пучок, яке переводить прямі у прямі

_{Означення Проективне відображення пучка на пучок називається}

_{перспективним, якщо пари відповідних прямих цих пучків перетинаються в точках, які лежать на одній прямій}

вісь

перспективи

Теорема: Проективне відображення пучка на пучок буде

перспективним тоді і тільки тоді, коли спільна пряма цих пучків -

переходить сама в себе. (Теорема справедлива за принципом двоїстості)

Означення: Проективне відображення прямої на себе називається

проективним перетворенням прямої

Проективне перетворення прямої задається парою реперів

1) має одну інваріантну точку

2) має дві інваріантні точки

3) f – тотожнє перетворення

Інволюція

Нехай - проективне перетворення прямої , тоді - теж проективне перетворення.

Означення: Не тотожне проективне перетворення прямої називається

інволюцією, якщо воно співпадає зі своїм оберненим.

Якщо - інволюція - розбиває всі точки прямої

на пари відповідних точок.

Теорема: Якщо при проективному перетворенні точка А

(ознака) прямої переходить у точку , а точка переходить у точку , то - інволюція.

Візьмемо

Нехай Маємо - проективне

Отже, - інволюція

Теорема: Будь-яка інволюція або не має ні однієї інваріантної точки, або має

лише дві інваріантні точки.

Нехай - інволюція . A, M d , A - інваріантна точка

() Нехай

=-1

В-інваріантна точка

Отже, якщо при інволюції існують інваріантні точки, то їх дві.

Зауваження:

1) Інволюція, яка не має інваріантних точок, називається еліптичною;

2) Інволюція, яка має дві інваріантні називається гіперболічною;

3) 3 () дві інваріантні точки інволюції гармонічно розділяють

будь-які дві відповідні точки при інволюції.