§2.Операции над множествами, их свойства.

Определение 1. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А∩В, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно.

Для наглядности будем использовать так называемые диаграммы Эйлера- Вена.

А∩В

Определение 2. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А B,состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству А или В.

А В

Определение 3. Множества называются непересекающимися, если их пересечение равно пустому множеству.

A Ø.

Определение 4. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А\B, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

А\B

Под универсальным множеством будем понимать такое множество U,что все рассматриваемые множества являлись подмножествами U.

О пределение 5. Разность U\B называется дополнением ко множеству В и обозначается.

Из определения ясно, что 1) В =Ø; 2) =U.

Теорема 1.Для произвольных множеств А ,В и С справедливы следующие свойства:

1. Коммутативность пересечения и объединения:

. ;

2. Ассоциативность пересечения и объединения:

; ;

3. Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

;

Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

;

4. Идемпотентность пересечения и объединения:

, ;

5. =U; =Ø

6. Законы де Моргана:

= ; =

7. Законы поглощения:

U; =Ø;

U=U; ;

Ø=A; Ø= Ø;

8. ;

9. Закон инволюции: =

10. Закон исключения разности: .

Доказательство(с помощью определений)

1. Свойство 1 выполняется, т.к. по определению операции пересечения , левая часть А есть множество всех элементов, принадлежащих А и В одновременно, а правая часть есть множество всех элементов, принадлежащих В и А одновременно. Отсюда следует, что левая и правая части состоят из одних и тех же элементов. Свойства 1 и 2 доказываются аналогично. Докажем свойство 6:  = . Пусть Y= . Пусть x X. Тогда, по определению x  и и , , т.е.X (1).

Пусть теперь y и и в силу произвольности выбора y, все элементы множества Y принадлежат X, т.е (2).

Из (1) и (2) X=Y,т.е.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Замечание 1.Операции объединения и пересечения можно распространить на любую совокупность множеств.

Пусть A₁, A₂, … , A_n-множества. Пересечением множеств A₁, A₂, … ,A_n называется множество С, обозначаемое С= , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств A₁, A₂, … ,A_n.

Аналогично, объединением множеств А₁, A₂, … , А_n называется множество С, обозначаемое С= , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А₁, A₂, … , А_n .

Справедливы обобщенные дистрибутивные законы:

и ,

а также обобщенные законы де Моргана:

и .

Замечание 2. Не трудно показать, что если А, В и С- конечные множества, то:

и .