§6. Отношение порядка и предпорядка. Линейный порядок. Упорядоченные множества. Наибольший (наименьший), максимальный (минимальный) элементы упорядоченного множества.

Другим важным бинарным отношением, часто встречающимся в математике, является отношение порядка.

Определение 1. Бинарное отношение на множестве Ø называется отношением порядка, если оно антисимметрично транзитивно.

Например, отношение «<» является отношением порядка на множестве N.

Определение 2. Отношение порядка на множестве А называется нестрогим, отношением порядка, если оно рефлексивно.

Например, отношение « » является нестрогим отношением порядка на множестве N.

Определение 3. Отношение порядка на множестве А называется строгим отношением порядка, если оно антирефлексивно.

Например, отношение «<» - отношение строгого порядка на множестве N.

Определение 3 эквивалентно следующему определению:

Определение 3'. Бинарное отношение на множестве Ø называется отношением строгого порядка, если антирефлексивно и транзитивно.

Покажем, что из антирефлексивности и транзитивности на А следует антисимметричность на А.

Допустим, и тогда, в силу транзитивности , , что невозможно, так как - антирефлексивно. Значит, либо , либо то есть, - антисимметрично.

Определение 4. Бинарное отношение на множестве Ø называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно на А.

Определение 5. Отношение порядка на множестве А называется линейным, если оно связанно.

Определение 6. Пусть - отношение порядка на непустом множестве А. Тогда пара <А, > называется упорядоченным множеством. Если -линейный порядок, то <А, > называется линейным упорядоченным множеством.

Определение 7. Пусть <А, >-упорядоченное множество .Элемент а из А называется наименьшим (наибольшим) в А, если для любого элемента x из А, отличного от .

Определение 8. Пусть <А, > - упорядоченное множество. Элемент из А называется минимальным (максимальным), в А, если выполняется условие: для любого x из а, если , то x = a.

Любое упорядоченное множество имеет не более одного наименьшего и не более одного наибольшего элемента, тогда, как оно может иметь несколько минимальных и максимальных элементов. В линейно упорядоченном множестве понятия наименьшего (наибольшего) и минимального (максимального) элементов совпадают.

Пример 1: пусть Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Рассмотрим на множестве Р(М) бинарное отношение « ». Это бинарное отношение рефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Значит, оно является отношением нестрогого порядка. Отношение « » не является связанным на Р(М). Например: {1} {2}, но {1} {2} и {2} {1}. Пара является упорядоченным множеством, но не является линейно упорядоченным множеством. Здесь имеем единственный максимальный (он же наибольший) элемент {1,2,3} и единственный минимальный(он же наименьший) элемент Ø.

Пример 2. К={ Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}. <K, > - упорядоченное множество. В К наибольшего элемента нет, но в К три максимальных элемента {1,2},{1,3},{2,3}. В К единственный минимальный (он же наименьший элемент).

Определение 9. Линейно упорядоченное множество <A,  > называется вполне упорядоченным множеством, если каждое непустое подмножество множества А имеет наименьший элемент.

Пример 3. Если «<» - есть обычное отношение «меньше» на множестве N, то <N,< > является вполне упорядоченным множеством.

Пример 4. <R,< > - линейно упорядоченное множество, но не вполне упорядоченное множество.