5.2. Производная по направлению функции двух переменных. Градиент функции двух переменных.

Пример 30. Представьте себе, что Вы проводите геодезические работы с использованием карты некоторой местности. Предположим, что высота каждой точки этой местности над уровнем моря задана как функция координат этой точки, например, . (Конечно, это предположение является искусственным и вряд ли на практике высота задается формулой). Мы определили свое положение на карте в точке . Требуется определить крутизну подъема поверхности (угол в градусах) в разных направлениях, исходящих из точки М₀, а именно:

1. параллельно оси ОХ;

2. параллельно оси ОУ;

3. параллельно биссектрисе первого координатного угла;

4. параллельно вектору ;

5. в направлении градиента.

Решение

1. Тот факт, что из точки М₀ (1; 2) мы двигаемся параллельно оси ОХ означает, что переменная х меняется, а переменная у фиксирована, а именно, у = 2 . Такое передвижение по карте дает кривую линию на поверхности. Крутизна этой линии определяется углом ₁, который образует касательная, проведенная к этой линии в точке поверхности, соответствующей точке М₀ на карте. Тангенс этого угла равен значению частной производной по х функции в точке М₀.

Тогда крутизна в направлении параллельном оси ОХ равна углу _. Положительное значение угла говорит о том, что в направлении параллельном оси ОХ высота растет (подъем).

2. Обозначим ₂ крутизну (угол) поверхности в точке М₀ в направлении параллельном оси ОУ. Тогда

.

В результате получим . Отрицательное значение угла говорит о том, что в направлении параллельном оси ОУ высота уменьшается (склон).

3. При движении параллельно биссектрисе первого координатного угла изменяются уже обе переменные. Обозначим крутизну в этом направлении как угол _3. Его тангенс равен производной от формулы высоты по направлению указанной биссектрисы в точке М₀. Напомним формулу производной функции двух переменных по направлению вектора .

Ранее нашли частные производные и . Как известно, биссектриса первого координатного угла образует с осями координат углы по 45. Следовательно, и . Обозначим направление по биссектрисе как вектор . Тогда , откуда . Судя по знаку этой производной, в направлении биссектрисы высота тоже убывает.

4. Обозначим крутизну в направлении вектора как угол ₄. По сравнению с предыдущим пунктом у нас изменилось только направление. Следовательно, нужно найти только новые значения и . Воспользуемся формулами : .

Вычислим: .

, откуда .

В направлении вектора высота тоже убывает.

5. Обозначим крутизну в направлении градиента как угол ₅. Напомним, что градиент – это вектор, который находится по следующей формуле

.

Пересчитаем направляющие косинусы:

,

Тогда .

.

Обратите внимание, крутизна в направлении градиента получилась самой большой. Это явилось подтверждением того факта, что в направлении градиента функция двух переменных растет с самой большой скоростью, которая численно равна длине вектора-градиента. В геодезической трактовке это означает, что в точке М₀ (1; 2) в направлении вектора-градиента крутизна поверхности самая большая.