4.5. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 2 – го типа

Все рассмотренные ранее линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка имели правую часть 1-го типа. Теперь рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения с правой частью 2-го типа.

Анализ правой части второго типа

в общем случае тоже нужно делать. Но! Мы рассмотрим только ее простой частный случай, а именно: , где А и В – конкретные числа, а параметр имеет какое-то конкретное числовое значение. Все неоднородные уравнения с такой правой частью будут подобраны так, что частное решение будут строиться по формуле , где просто переписываются из правой части , а - неопределенные коэффициенты, которые еще нужно найти. Заметим, что в исходной правой части могут присутствовать либо оба слагаемых с и , либо только слагаемое с , либо только с . Независимо от этого первоначально должно содержать оба слагаемых и только в процессе решения может получиться, что либо , либо равны нулю.

Пример27. Найти общее решение уравнения .

Решение. Строим однородное дифференциальное уравнение : . Его характеристическое уравнение с корнями , . Тогда .

Вернемся к исходному неоднородному дифференциальному уравнению: . Еще раз подчеркнем, что рассматриваем только такие уравнения, у которых структура частного решения повторяет структуру правой части, т.е. .

Предварительно вычислим: , . После подстановки в дифференциальное уравнение получаем тождество:

В левой части тождества сгруппируем слагаемые с и слагаемые с : . Приравняем коэффициенты при и слева и справа:

Окончательная формула для примет вид: . Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения:

.

Ответ:

§5. Функции двух переменных

5.1. Частные производные функции двух переменных

Сведения из теории

Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .

Определение Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Термины:  область определения функции; и  аргументы функции.

Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .

Область называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.

Пример28. Найти область определения функции .

Решение.

Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:

Ответ. Область определения функции  затемненная область на рисунке.

В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.

Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных.

Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Замечание В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и (читается дэ z по дэ x, дэ z по дэ y).

Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другая не меняется и считается константой. При этом функция 2-х переменных фактически становится функцией одной переменной.

Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .

Сведения из теории

Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.