5. Одиниці вимірювання інформації та збереження чисел у комп'ютері [4, c.50-63].

Системи числення – це спосіб представлення чисел за допомогою цифр (символів). Виділяють два види систем числення: позиційну та непозиційну. В позиційних системах будь-яке число записується у вигляді послідовності символів (цифр), кількісне значення яких залежить від місця (позиції), що займає кожна з них у числі. Наприклад, в десятковій системі числення число 555 складається з трьох цифр 5, кожна з яких має своє значення (перша – сотні, друга – десятки, третя – одиниці): 555=5*100 + 5*10 + 5*1.

У непозиційних системах виділяються знаки, за допомогою яких записується ряд основних чисел, а інші утворюються як результат додавання або віднімання основних. Такі системи непридатні для виконання над ними математичних дій. Прикладом непозиційної системи числення є, так звана, римська система, в якій значення цифри не залежить від її позиції в записі числа. Наприклад, число XXX, яке дорівнює 30, складається з трьох рівнозначних цифр X (десять).

Будь-яка позиційна система числення характеризується основою (базисом), який визначає: а) у скільки разів цифра в n-й позиції числа, більше такої ж цифри в (n-1)-ї позиції (справа ліворуч); б) кількість цифр, що використовується для представлення будь-якого числа в певній системі числення; в) назву певної системи числення.

Залежно від кількості цифр, що лежить в основі системи числення, останні бувають десятковими, вісімковими, шістнадцятирічними, двійковими тощо. У десятковій системі числення основа дорівнює 10, тому використовується десять цифр (від 0 до 9); у двійковій системі числення - дві цифри (0 та 1), у вісімковій - вісім цифр (від 0 до 7), у шістнадцятирічній - шістнадцять цифр та символів (від 0 до 9 і літерні позначення A, B, C, D, E, F - для відповідних двохпозиційних десяткових цифр від 10 до 15).

Наведемо приклади переводу чисел з однієї системи числення до іншої.

Правило переведення чисел з будь-якої позиційної системи числення в десяткову: число, яке переводиться, треба представити у вигляді додатку множень цифр числа на основу системи числення в ступені, що відповідає позиції цифри в числі. Наприклад:

1.) Із двійкової системи числення до десяткової:

1101₍₂₎ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₍₁₀₎

Наведемо ще один спосіб переведення чисел з двійкової системи числення до десяткової. Спочатку треба записати двійкове число, потім під старшим розрядом (ліворуч) ставиться цифра 1, потім кожне наступне число в нижньому рядку множиться на 2 та записується в наступний розряд без додавання 1, якщо в цьому розряді верхнього рядка знаходиться 0, або з додаванням 1, якщо в цьому розряді знаходиться 1. Проти молодшого розряду двійкового числа отримуємо у нижньому рядку потрібне десяткове число. Наприклад, для двійкового числа 1101 маємо:

1   1   0   1

1   3   6  13

Таким чином, двійковому числу 1101 відповідає десяткове число 13. Це можна записати так: 1101₍₂₎ = 13₍₁₀₎

2.) Із вісімкової системи числення до десяткової:

43₍₈₎ = 4*8¹ + 3*8⁰ = 32 + 3 = 35₍₁₀₎

3.) Із шістнадцятирічної системи числення до десяткової:

1А5₍₁₆₎ = 1*16²+ 10*16¹ + 5*16⁰ = 256 + 160 + 5 = 421₍₁₀₎

Правило переведення цілих чисел з десяткової системи числення в іншу позиційну систему: необхідно послідовно ділити це число на основу тієї системи, в яку переводимо, доти, поки частка не стане меншою за основу. Число в новій системі запишеться у вигляді останньої частки і всіх залишків від ділення, починаючи з останнього. Наприклад:

1.) Із десяткової системи числення до двійкової:

Для переведення числа 13 з десяткової системи числення в двійкову треба розділити його на 2.

_13  Р 2

  12     _6  Р 2

    1       6     _3  Р 2

             0       2     1

                      1

Таким чином, читаємо в зворотному порядку і отримуємо результат:

13₍₁₀₎ = 1101₍₂₎

Наведемо ще один спосіб переведення чисел з десяткової системи числення до двійкової - це використання правила переведення чисел з двійкової системи числення до десяткової в зворотному напрямку, наприклад:

13₍₁₀₎ = 8 + 4 + 0 + 1 = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 1101₍₂₎

2.) Із десяткової системи числення до вісімкової:

Для переведення числа 35 з десяткової системи числення до вісімкової треба розділити його на 8.

_35  Р 8

  32      4

    3

Таким чином, читаємо в зворотному порядку і отримуємо результат:

35₍₁₀₎ = 43₍₈₎

Другий спосіб переведення:

35₍₁₀₎ = 32 + 3 = 4*8¹ + 3*8⁰ = 43₍₈₎

3.) Із десяткової системи числення до шістнадцятирічної:

Для переведення числа 421 з десяткової системи числення до шістнадцятирічної треба розділити його на 16.

_421  Р 16

  416     _26  Р 16

      5      16         1

              10

Таким чином, читаємо в зворотному порядку і отримуємо результат:

421₍₁₀₎ = 1А5₍₁₆₎

Другий спосіб переведення:

421₍₁₀₎ = 256 + 160 + 5 = 1*16²+ 10*16¹ + 5*16⁰ = 1А5₍₁₆₎

Інформація в ЕОМ вводиться у вигляді символів кирилиці та латинської абетки, десяткових цифр. Потім комп’ютер здійснює перетворення введеної інформації в двійковий код, тобто інформація в пам’яті комп’ютера зберігається у вигляді цифр. При виводі інформації з ЕОМ остання сама здійснює зворотне перетворення.

В основі роботи ЕОМ використовується двійкова система числення. Це пояснюється застосуванням в конструкції комп’ютера елементів, що мають два відмінних один від одного стани.

Двійкова арифметика має такий вигляд:

         0               0                  1                     1

      + 0            + 1              + 0                  + 1

      = 0           =  1             =  1                = 10

Тому при складанні чисел 1101₍₂₎ та 1001₍₂₎ отримаємо результат 10110₍₂₎.

Одиницями вимірювання інформації є: "біт", "байт", "кілобайт (Кбайт)", "мегабайт (Мбайт)", "гігабайт (Гбайт)" тощо.

Біт – найменша (елементарна) одиниця інформації, це один двійковий розряд, в який може записуватися тільки або "0", або "1".

Байт ("byte") дорівнює восьми бітам. Тобто, це така величина, що кодується восьмирозрядним двійковим кодом.

Зсув одиниці на один розряд ліворуч в двійковому числі збільшує десяткове число вдвічі. Наприклад:

               двійкове число               десяткове число

                                      1                                         1

                                    10                                         2

                                  100                                         4

                                1000                                         8

                              10000                                        16

                            100000                                        32

                          1000000                                        64

                        10000000                                      128

За допомогою одного розряду двійкового числа можна закодувати два десяткових числа: 0 та 1; за допомогою двох розрядів - чотири числа: 0, 1, 2, 3.

  кількість розрядів                        значення

                              1                                1

                              2                                   11

                              3                                 111

                              4                               1111

                              5                             11111

                              6                           111111

                              7                         1111111

                              8                       11111111

Таким чином, таке об’єднання з восьми розрядів дозволяє записувати 2⁸ = 256 різних комбінацій бітів, тобто можна закодувати 256 цілих чисел: від 0 до 255. За допомогою них виконується кодування в ЕОМ символів. Таблиця відповідності символів і кодів називається кодовою таблицею. Байт дуже зручна одиниця вимірювання інформації, тому що він дозволяє зберігати код одного символу (букви, цифри, розділового знаку тощо).

Один байт - це не тільки одиниця інформації, але й елементарна комірка пам’яті ЕОМ. Пам’ять комп’ютера складається із послідовності таких комірок. Кожна комірка (байт) має адресу (номер комірки) та вміст (двійковий код, що зберігається в ній). Коли процесор ЕОМ обробляє інформацію, він знаходить за адресою у пам’яті потрібну комірку, читає її вміст, виконує необхідні дії та записує результат в іншу комірку пам’яті. Пам’ять ЕОМ вимірюється у кілобайтах або мегабайтах.

Для виміру великих обсягів інформації використовуються безрозмірні перехідні коефіцієнти:

К = 2¹⁰ = 1024; М = 2²⁰ = 1048576; Г = 2³⁰.

Тобто:

1 Кбайт (кілобайт)  = 2¹⁰ байт = 1024 байт » 10³ байт;

1 Мбайт (мегабайт) = 2²⁰ байт = 2¹⁰ Кбайт »  10⁶ байт;

1 Гбайт  (гігабайт)  = 2³⁰ байт = 2¹⁰ Мбайт » 10⁹ байт;

(ці ж коефіцієнти можна використовувати також з одиницею "біт").