Шістнадцяткова система числення

Двійкове подання чисел є надто громіздким. Так, ми бачили, що для запису десяткового числа 43 потрібно аж 6 двійкових розрядів. Тому в програмуванні і в комп’ютерній літературі широко використовується шістнадцяткова система числення – позиційна система числення за основою 16. Оскільки 16 = 2⁴, переведення чисел з двійкової системи до шістнадцяткової спрощується: одній шістнадцятковій цифрі відповідає чотири двійкових розряди, причому ця відповідність є взаємно однозначною. Десятковим числам від 0 до 9 відповідають такі самі шістнадцяткові цифри. Дворозрядне десяткове число 10 позначається однією шістнадцятковою цифрою зі значенням A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Приклади. (25)₁₆ = 5 + 2*16 = 37. (С3)₁₆ = 3 + 12*16 = 3 + 192 = 197.

1. Збереження чисел у комп'ютері

У сучасних комп'ютерах здебільшого застосовуються два формата зображен­ня чисел: числа з фіксованою комою і числа з плаваючою комою (fixed point, floating point). Перша з них дістала назву природної (або натуральної), друга -нормальної (експоненціальної, логарифмічної або так званого наукового запису).

Число з фіксованою комою

Число з фіксованою комою — це формат зображення числа з незмінним розташу­ванням коми, що відокремлює цілу частину числа від дробової. Числа у такому форматі записуються

Розряд коду числа, в якому вказується знак, називається знаковим, а розряди, де знаходяться значущі цифри, називаються цифровими розрядами коду. Знако­вий розряд дорівнює 0 для додатних чисел, та 1 — для від'ємних. Положення коми відносно розрядів числа фіксується й у процесі обчислень не змінюється. В самому коді числа кома фізично ніяк не вказується, вона лише «мається на увазі».

Використання чисел у форматі з фіксованою комою значно спрощує апаратну реалізацію арифметико-логічного пристрою комп'ютера і зменшує час виконання машинних команд.

Числа з плаваючою комою.

У прикладних задачах програмістам досить часто доводиться оперувати дуже вели­кими або дуже маленькими дійсними числами, наприклад такими, як маса Сонця, що складає 2х10³⁰ кг, або маса електрона, яка становить 9х10~²⁸ г. Записати в па­м'ять подібні числа, враховуючи всі значущі цифри, і виконати над ними ариф­метичні операції, використовуючи арифметику з фіксованою комою, неможливо. У цьому разі для запису чисел використовується формат із плаваючою комою, коли кожне число розбивається на дві групи цифр. Перша група цифр нази­вається мантисою, друга — порядком. Число записується у вигляді добутку. Y=±M×S^±p

Тут Y — значення дійсного числа; М — мантиса числа; S — основа системи чис­лення; р — порядок числа.

Мантиса (дріб зі знаком) і порядок (ціле число зі знаком) зображуються в сис­темі числення з основою S. Знак числа збігається зі знаком мантиси. Порядок р є додатним або від'ємним цілим числом і визначає положення коми в числі Y. Та­ким чином, у мантисі зберігаються значущі цифри числа, а порядок визначає йо­го величину.

Для збільшення кількості значущих цифр у зображенні дійсного числа і за­побігання переповненню при виконанні арифметичних операцій мантису норма­лізують. Це означає, що мантиса будь-якого числа, зображеного у форматі з плаваючою комою, має починатися з одиниці у двійко­вій системі числення. Наведений метод нормалізації є класичним, при якому ре­зультат нормалізації зображується у вигляді правильного дробу, тобто з одини­цею після коми і нулем у цілій частині числа (розглядається двійкова система).

Точність обчислень при використанні чисел із плаваючою комою визначається кількістю розрядів мантиси, тобто числом достовірних десяткових цифр.