Предельные теоремы в схеме Бернулли

При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов и степеней. В этом случае используются приближенные формулы. Рассмотрим два случая:

1) p→0 или p→1;

2) p∈(0,1) и не близко ни к нулю, ни к единице.

Теорема Пуассона

Пусть в схеме Бернулли n→∞, p→0 так, что np→a , тогда

Замечания:

1. np = a – среднее число появления события А в n испытаниях.

2. Как правило, теорему Пуассона применяют, когда a ≤10 .

3. В конце книг по теории вероятностей [1, 3, 5] имеются таблицы для подсчета вероятности по формуле (7.1) для различных a и m.

Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность наступления некоторого события в n независимых испытаниях постоянна и равна р, p∈(0,1) , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз,

удовлетворяет при n→∞ соотношению

равномерно по всем m, для которых находится в каком-то конечном интервале;

функция = называется плотностью нормального распределения.

Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа

Если m есть число наступлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна p причем, p∈(0,1) , то равномерно относительно a и b

( − ∞ < a < b < +∞) при n→∞ имеет место соотношение

где – функция Лапласа.

Замечания:

1. Функция Лапласа нечетная:

Ф₀ (-x)= - Ф₀(x) .

2. Функция Ф₀ (z) асимптотическая, при x→∞ она быстро стремится к 0,5. Это стремление настолько быстрое, что при x≥5 Ф₀ (z) можно считать равной 0,5.

3. Плотность нормального распределения = - четная функция.

4. Функции заданы таблично.

7. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Случайной величиной ξ , называется функция, определенная на множестве элементарных событий Ω (омега). Случайная величина является функцией элементарных исходов ω , по-

этому говорят, что случайная величина – это величина, значения

которой зависят от случая.

Случайные величины будем обозначать греческими буквами, например ξ (кси), η (эта) и т.д., а их возможные значения малыми латинскими буквами x₁, х₂, …, у₁, у₂, …

Случайные величины могут быть дискретными и не дискретными. Если множество Ω счетное или конечное, то случайная величина ξ называется дискретной, если несчетное – не

дискретной. Под счетным множеством понимается множество, равномощное множеству натуральных чисел N = 1, 2, 3... .

При этом случайные величины могут иметь различные распределения.

Пусть ξ дискретная случайная величина, которая принимает значения x_i с некоторой вероятностью p_i= P( ξ = x_i), где i =1, 2,...

Законом распределения дискретной случайной величины ξ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически и графически.

Обычно для дискретной случайной величины ξ закон распределения изображается в виде таблицы:

					…
P					…

События ξ = x₁ ; ξ = x₂ ,… несовместны и образуют полную

группу, поэтому сумма всех вероятностей p_i будет равна единице

Для того, чтобы одинаковым способом характеризовать случайные величины различной природы вводится понятие функции распределения вероятностей.

Пусть ξ – случайная величина и x – произвольное действительное число. Вероятность того, что ξ примет значение, меньшее чем x , называется функцией распределения вероятностей: F_ξ (x) = P(ξ < x)

Если речь идет об одной случайной величине, то индекс можно опустить.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

График функции распределения

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины.

Свойства функции распределения

1. , 0 , т.к. это вероятность.

2 . –неубывающая функция.

Cледствия

2.1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале:

2.2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной СВ равна 0

, т.к. функция распределения непрерывной СВ непрерывна.

2.3. Вероятность попадания непрерывной СВ в открытый или замкнутый промежуток одинакова:

Докажем последнее равенство

_3. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.).

4и 5. .