Ковариация и коэффициент корреляции.
К числовым характеристикам связи относят ковариацию и коэффициент корреляции.
Ковариацией случайных величин ξ 1, ξ 2 называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от своих математических ожиданий
cov(ξ1, ξ2) =M((ξ1 – Mξ2)(ξ2 –Mξ2)) (1.1)
Раскрыв скобки в (1.1) по свойствам математического ожидания, получим
cov(ξ1, ξ2) =M(ξ1 · ξ2) - M(ξ1) M(ξ2)
Свойства ковариации
1. cov(ξ1, ξ2) =M(ξ1 - ξ2)2 =Dξ1
2. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю
cov(ξ1, ξ2) =M(ξ1 · ξ2) - M(ξ1) M(ξ2) = M(ξ1) M(ξ2) - M(ξ1) M(ξ2) = 0
Обратное не верно. Можно привести пример, когда ковариация равна 0, но случайные величины зависимы.
Постоянный множитель выносится за знак ковариации. cov(ξ1, ξ2) =с · cov(ξ1, ξ2)
| cov(ξ1, ξ2)| ≤
Ковариация служит для качественной характеристики зависимости между случайными величинами.
Коэффициентом корреляции называется
Свойства коэффициента корреляции
1. |ρ| ≤1.
2. Если ξ1 и ξ2 независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно. Если ρ =0, то говорят, что ξ 1 и ξ 2 некоррелированы.
3. Если ξ1 и ξ2 связаны линейной зависимостью ξ2=a ξ1+b, то |ρ(ξ1, ξ2) |=1
Причем, если a > 0, то ρ(ξ1, ξ2)=1; если a < 0 , то ρ(ξ1, ξ2)= −1 .
Если |ρ| <1 , то говорят, что ξ 1 и ξ 2 связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе |ρ| к 1.
Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики меры линейной зависимости случайных величин.
12. Основные дискретные распределения случайных величин. Биномиальное распределение
Рассмотрим
схему Бернулли. Производится
последовательность n независимых
испытаний в каждом из которых возможно
только два исхода: событие А появилось
с вероятностью p и событие А не появилось
с вероятностью q , т.е.
Число появлений события А в серии из n независимых испытаний может принимать значения μ : 0, 1,..., m,.., n .
Вероятности принять эти значения вычисляются по формуле Бернулли:
(1.1)
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемой по формуле (1.1), называется биномиальным.
Биномиальное распределение имеет два параметра: n и p.
Определим их вероятностный смысл. Для этого вычислим математическое ожидание и дисперсию.
Случайную величину μ можно представить в виде суммы независимых слагаемых
μ = μ1 + μ2 + ... + μn ,
где μi − число появлений события А в одном ( i-м) испытании.
Закон распределения μi
-
μi
0
1
P
q
P
Математическое ожидание:
M μi =0·q+1·p=p
Чтобы найти дисперсию, вычислим M μi2 :
Так как μi независимы, то
.
Распределение Пуассона
Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины ξ , определяемое формулой
m=0,1,2,…, n,...
где a – параметр распределения Пуассона.
Найдем числовые характеристики этого распределения:
Заметим, что
Отсюда, Mξ=a·1=a
Для вычисления дисперсии рассмотрим тождество
Дифференцируя левую и правую части этого тождества по a , получаем
Умножив левую и правую части на a , будем иметь
Mξ2 − (Mξ)2 = a + a2 − a2 = a , то
Dξ =Mξ2 – (Mξ)2 = a + a2 – a2 = a
Итак, характерным свойством распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии параметру a
Mξ = a, Dξ = a .