8. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Пусть функция распределения F_ξ (x) случайной величины ξ имеет производную.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины ξ называется производная функции распределения:

Свойства плотности вероятности:

1. , , так как это производная неубывающей функции.

2. , т.к.

3. .

Следует из определения и свойства 2.

4. Свойство нормировки:

В частности, если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то

Опр. СВ называется распределенной по равномерному закону, если ее плотность вероятности принимает постоянное значение в пределах заданного интервала, а вне этого интервала равна нулю

9. Математическое ожидание и его свойства

Закон распределения полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Но часто для практических задач достаточно указать только отдельные числовые параметры, которые позволяют в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения. Такие параметры называются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик можно выделить характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана), то есть некие средние, ориентировочные значения случайной величины, около которых группируются ее возможные значения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется сумма произведений всевозможных ее значений на вероятности этих значений если этот ряд сходится абсолютно.

Замечание

Если математическое ожидание равно бесконечности, то говорят, что оно не существует.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p(x) называется интеграл если он сходится абсолютно.

=

Свойства математического ожидания M ξ :

1. MC = C .

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(ξ₁ +ξ₂) = Mξ₁ + Mξ₂ .

3. Для независимых случайных величин ξ₁ и ξ₂математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий

M(ξ₁ * ξ₂) = Mξ₁ * Mξ₂

Следствие

Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания.

M(а * ξ₂) = аM(ξ₁)

Следующая характеристика положения – это мода.

Модой случайной величины ξ называют ее наиболее вероятное значение, то есть то, для которого вероятность p_i или плотность распределения p(x) достигают максимума. Моду

обычно обозначают через М_x

Еще одной характеристикой положения непрерывных случайных величин является медиана.

Медианой непрерывной случайной величины ξ называется такое ее значение x_m, для которого

то есть одинаково вероятно, окажется ли случайная величина ξ меньше x_m или больше x_m.

Геометрически медиана – это координата той точки на оси Ox , для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1 2 (см. рис. 3).

Для симметричных распределений математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

9. Дисперсия и ее свойства

Наряду с числовыми характеристиками положения вводят и другие числовые характеристики. Например, для того чтобы оценить рассеяние случайных величин вокруг математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют

дисперсией.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины ξ от своего математического ожидания: Dξ = M(ξ − Mξ )²

Выполним преобразования:

Dξ = M(ξ − Mξ )²= M(ξ²− 2ξ ⋅Mξ + (Mξ )² ) = Mξ² − 2(Mξ )² + (Mξ )² = Mξ² − (Mξ )² ,

Dξ = Mξ² − (Mξ )²

Для дискретной случайной величины ξ с законом распределения (x_i,p_i) дисперсия равна

=

Для непрерывной случайной величины ξ с плотностью вероятности p(x) дисперсия равна

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений ξ вокруг своего математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В связи с этим часто используется среднее квадратичное отклонение, выраженное в тех же единицах, что и случайная величина.

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии

σξ = Dξ

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

DC = M(C −MC)² = M(C −C)² = M(0) = 0 .

2. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий

D(ξ₁ +ξ₂ ) = Dξ₁ + Dξ₂ .

3. Если a и b = const, то

D(a + bξ ) == b²Dξ .

D(a+bξ ) = M(a + bξ − a − bMξ )²= M(b(ξ − Mξ ))² = b² Dξ .

Следствие

Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате

D(cξ)²=c² Dξ