1.3.4. Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов элементов  вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

4. Для заданных значений интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.380.

5. Для заданного значения интенсивности отказов λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 3.750 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.380 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

1.4. Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с целой кратностью

Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительных графиков.

Зависимость вероятностей безотказной работы от времени работы для разных типов систем представлена на графике:

Зависимость вероятностей безотказной работы от интенсивности отказа элементов λ для разных типов систем представлена на графике:

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для разных типов систем приведена на графике:

Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч, λ = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч приведены в таблице:

	Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью
	с нагруженным резервом	с частично нагруженным резервом	с ненагруженным резервом.
Вероятность безотказной работы системы P(t)	0.117	0.184	0.380
Среднее время безотказной работы системы mt, ч	2.292	2.708	3.750

Выводы

Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с нагруженным резервом. Также необходимо отметить, что при интенсивности отказов резервных элементов λ меньше интенсивности отказов резервных элементов λ₀ = 0.4 1/ч система с нагруженным резервом превосходит систему с частично нагруженным резервом по показателям надежности.

2. Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью при ограниченном ремонте

2.1. Система с нагруженным резервом

2.1.1. Расчетно-логическая схема

Считается, что для работы системы необходимо пять работающих элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в горячем резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

2.1.2. Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.1.3. Расчет основных характеристик системы

Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Таким образом:

Вероятность безотказной работы системы

Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 8.46065·10^-6.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графиках:

λ = 0.6

λ = 0.8

λ = 1.0

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:

μ = 0.0005

μ = 0.05

μ = 5

Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 0,799ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице:

λ	mt
0.6	1.068
0.8	0.799
1.0	0.638

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице:

μ	mt
0.0005	0.793
0.05	0.799
5	1.939

Коэффициент готовности

Нахождение коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений

Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть и , = const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Решением системы будет:

Для заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05 1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение:

К_г = P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247

Нахождение Кг методом Половко

К_г = P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01247

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов  приведена на графике:

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления  приведена на графике:

Средняя наработка на отказ

Для заданных значений  = 0.05 1/ч и К_г = 0.01247 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

Среднее время восстановления системы

Для заданного значения интенсивности восстановления  = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

Вероятность успешного использования системы

R(t)=К_г*P_сист

Для заданных значений Кг = 0.01247 и Р_сист = 8.46065·10^-6 R(t) = 0.10550·10^-6.

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов λ при  = 0.05 приведена на графиках:

 = 0.6

 = 0.8

 = 1.0

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления  при  = 0.8 приведена на графиках:

 = 0.0005

 = 0.05

 = 5