2.2.4. Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.

3. Вероятность безотказной работы системы P_сист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

4. Для заданных значений = 0.8 1/ч, ₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.26429·10^-6.

5. Среднее время безотказной работы системы m_t увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

6. Для заданных значений = 0.8 1/ч, ₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы m_t составляет 0.885 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.26429·10^-6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.

7. Коэффициент готовности системы К_г увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

8. Для заданных значений = 0.8 1/ч, ₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы К_г = 0.01249.

9. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

10. Для заданных значений  = 0.05 1/ч и К_г = 0.01249 среднее время наработки на отказ .

11. Среднее время восстановления системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

12. Для заданного значения интенсивности восстановления  = 0.05 среднее время восстановления системы .

13. Вероятность успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов , ₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов .

14. Для заданных значений К_г = 0.01249 и Р_сист = 0.26429·10^-6 вероятность успешного использования системы R(t) = 0.10564·10^-6.

2.3. Система с ненагруженным резервом

2.3.1. Расчетно-логическая схема

2.3.2. Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.3.3. Расчет основных характеристик системы

Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Таким образом:

Вероятность безотказной работы системы

Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для интенсивности отказов нагруженных элементов λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

После обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)

Для заданных значений t = 4 ч,  = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 14.53451·10^-6.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках:

λ = 0.6

λ = 0.8

λ = 1.0

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:

μ = 0.0005

μ = 0.05

μ = 5

Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 1.009 ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице:

λ	mt
0.6	1.350
0.8	1.009
1.0	0.806

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице:

μ	mt
0.0005	1.000
0.05	1.009
5	3.207

Коэффициент готовности

Нахождение коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений

Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

Если предположить, что потоки стационарны, то есть и , = const, то можно получить следующую систему:

Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:

Отсюда имеем:

Решением системы будет:

Для заданных значений = 0.8 1/ч и  = 0.05 1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение:

К_г = P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.02469

Нахождение Кг методом Половко

К_г = P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.02469

Значения К_г, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов основных элементов  приведена на графике:

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления  приведена на графике:

Средняя наработка на отказ

Для заданных значений  = 0.05 1/ч и К_г = 0.02469 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов представлена на графике:

Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

Среднее время восстановления системы

Для заданного значения интенсивности восстановления  = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

Вероятность успешного использования системы

R(t)=К_г*P_сист

Для заданных значений К_г = 0.02469 и Р_сист = 14.53451·10^-6 R(t) = 3.34185·10^-6.

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов λ при  = 0.05 приведена на графиках:

 = 0.6

 = 0.8

 = 1.0

Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления  при  = 0.8 приведена на графиках:

 = 0.0005

 = 0.05

 = 5